小结优秀教案设计

2018届高考总复习《概率与统计》专题4 --- 回归分析及其初步应用

《必修三》知识：

⒈统计的基本步骤

第一步：采集数据

——

简单随机抽样、系统抽样、分层抽样；

第二步：整理数据

——列表、画图（茎叶图频、率分布直方图、条形图等）；

第三步：分析数据

——

平均数、中位数、众数、方差、标准差．

x1x2x3xn1n平均数：x（刻画平均水平）

xi；nni1(x1x)2(x2x)2(xnx)21n方 差：s(xix)2；

（评价稳定程度）

nni12标准差：s(x1x)2(x2x)2(xnx)2n1n(xix)2．（评价稳定程度）

ni12⒉两个变量的基本关系

（1）函数关系：两个变量的关系是确定的，如：y2x，S4r等．

（2）相关关系：两个变量的关系是非确定的，如：身高与体重，销售额与广告费等．

①正

相

关：在散点图中点散布在从左上角到右下角的区域；

②负

相

关：在散点图中点散布在从右上角到左下角的区域．

③线性相关：在散点图中点的分布从整体上看大致在 附近．

⒊回归直线方程：

ybxa （回归直线一定经过样本中心点(,)）

斜率bxynxy(yy)(xx)iiiii1nnxi1n2inx2i1(xx)ii1n，在y轴上的截距aybx

2斜率b的意义是：当自变量x每增加一个单位，因变量就增加 个单位．

⒋相关系数：rxyii1ni1ninxyxi2nx2yi2nyi1n

（刻画点的密集程度，评价相关性）

2当r0时，表明两个变量正相关；当r0时，表明两个变量负相关。r的绝对值越大，点的分布越密集，当r1时，所有点都落在回归直线上．

r的绝对值越接近1，

表明两个变量的线性相关性越强；

r的绝对值越接近0，

表明两个变量之间几乎不存在线性相关性．

▲通常当

0.75r1

时，认为两个变量有很强的线性相关关系，求回归直线才有意义．

《选修1--2》知识： ⒌线性回归模型：

如果样本点散布在一条直线的附近，那么两个变量之间的关系就可以用线性回归模型ybxae来表示，其中：a和b为模型的未知参数，e称为

随机误差

，因变量y的值由自变量x和随机误差e共同确定，即：自变量x只能解释部分y的变化，在统计中，我们也把自变量x称为

解释变量

，因变量y称为

预报变量

．

⒍残差与残差图：

数据点与它在回归直线上相应位置的差异(yiyi)是随机误差的效应，eiyiyi称为残差（真实值与预报值之差）．

我们可以利用图形来分析残差的特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选择样本标号、解释变量、预报变量，这样作出的图形称为残差图．

▲残差的统计意义：如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．

⒎相关指数：R2(yy)(yy)2iiii1i1nn2(yy)ii1n1(yy)iin22(yy)ii1i1n

（刻画回归的效果）

2残差平方和越小，则R2的值越大，说明模型的拟合效果越好．

▲相关指数的统计意义：在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．

如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R的值来做出选择，即选择R大的模型作为这组数据的模型．

22(yi1nniy)2称为

总偏差平方和

，它代表了所有

解释变量与随机误差

的总效应；

yi)2称为 残差平方和

，它代表了所有 随机误差

的效应；

y)(yiyi)2称为 回归平方和

，它代表了

所有解释变量

的效应．

2i1n(yi1ni(yi1i

二、经典例题分析

例题：假设某种产品的广告支出x（万元）与销售额y（万元）之间存在很强的线性相关关系，采集到5组数据如下：

x

y

2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 （Ⅰ）请画出上表数据的散点图，并证明：y与x之间有很强的线性相关关系；

（Ⅱ）建立以广告支出为解析变量x，销售额为预报变量y的回归模型；

（Ⅲ）你认为这个模型能较好地反映y与x之间的关系吗？请说明理由．

解：为了便于计算相关系数和回归直线方程，特绘制下表：

i

1 2 30 4 900 60 2 4 40 16 1600 160 53 5 60 25 3600 300 4 6 50 36 2500 300 5 8 70 64 4900 560 总

和

xi

yi

xi15i25

250

145

yi155ix

y

xiyi

2i2ixi12iyi15i152i13500

ixyi1380

（Ⅰ）∵xxi15i5n

，

yyi1i5

，

∴rxynxyiii1xi2nxi1n2yi2nyi1n21350052500

13020100010021301320.920.75

20∴销售额y与广告支出x之间有很强的线性相关关系．

（Ⅱ）∵y与x之间有很强的线性相关关系，

∴选用线性回归模型ybxa来表示y与x之间的关系，

根据上表所列的数据，用最小二乘法求模型中的未知参数a和b：



bxy5xyiii15xi152i5x2______5___________________，

1455_____20 aybx_______________，

∴y与x之间的回归直线方程为y

x．

e

10

80

8

6

460

散点图：

残差图：

2

40

o

-2

20 -4

-6

o

2 4 6 8 x

-8

-10

（Ⅲ）为了便于计算相关指数，绘制下表：

y

2

4

6

8

x

i

1 2 30 30.5 －0.5 －20 52 4 40 43.5 －3.5 －10 3 5 60 50 10 10 2i4 6 50 56.5 －6.5 0 5 5总

和

xi

真实值yi

预报值yi

残差yiyi

8 70 69.5 0.5 20 xi1i25

yi15i250

(yi155iyi)2155

y)21000

yiy

(yi1i∵相关指数R21(yy)i(yy)ii1i1512______0.845

________∴解析变量（广告支出）对预报变量（销售额）约贡献了 %，而随机误差只贡献了剩余的15.5%，随机误差的效应比解析变量的效应小得多，因此该模型能够较好地刻画广告支出（万元）与销售额（万元）之间的关系．

点评：我们通过相关指数的大小可以知道：预报变量的变化在多大程度上与解析变量有关？又在多大程度上与随机误差有关？

回归分析应用练习

1、下列两个变量之间的关系是相关关系的是（ ）

A．正方体的棱长与体积

B．单位面积产量为常数时，土地面积与产量

C．日照时间与水稻的亩产量

D．电压一定时，电流与电阻

2、下列有关线性相关系数r与相关指数R2的命题，正确的是（ ）

A

r,，且r越接近于0时，两个变量的线性相关性越强；

B

r1,1，且r越接近于1时，两个变量的线性相关性越强； C

R的值越大，说明残差平方和2ˆ)(yyiii1n2越小，模型的拟合效果越差； D

R0.65，表明随机误差、解释变量对预报变量分别约贡献了65%和35%．

23、在对两个变量x,y进行线性回归分析时有下列步骤：①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据xi,yi，i1,2,,n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图。如果变量x,y具有线性相关关系，则在下列操作顺序中正确的是（ ）

A．①②⑤③④

B．③②④⑤①

C．②④③①⑤

D．②⑤④③①

4、已知回归方程y2x1，而试验得到一组数据是2,4.9,3,7.1,4,9.1，则残差平方和ˆ)(yyiii1n2是（

）

A．0.01

B．0.02

C．0.03

D．0.04 5、甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如右表．则试验的结果体现A、B两变量有更强的线性相关性的是同学（ ）

A

甲

B

乙

甲

0.82 106 乙

0.78 115 丙

0.69 124 丁

0.85 103 r

m

C

丙

D

丁

6、关于x与y的线性模型

yb1xa1

①，

(yi15i2yi)155，(yiy)1000，25i1求相关指数R12；

若关于x与y的另一个线性模型

yb2xa2

②的相关指数R220.85，试比较线性模型①②哪一个拟合效果更好．

7、某服装商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如右月平均气温x(℃)

17

月销售量y(件)

24

13

33

8

40

2

55

^表：由表中数据算出线性回归方程y＝bx＋a中的b≈－2．气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件．

附参考公式：bxynxy(yy)(xx)iiiii1nnxi1n2inx2i1(xx)ii1n，aybx

28、春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：通过分析，发现销售价格x

9

9.5

10

10

8

10.5

6

11

5

销售量y

11

量y对商品的价格x具有线性相关关系，求销售量y对商品的价格x的回归直线方程。

解：平均数：x

，y

(xx)(yy)

iii1n(xx)ii1n2

9、已知x与y之间的几组数据如下表：

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为

以下结论正确的是（

）

x

y

1 0 2 2 3 1 4 3 5 3 6 4 ˆxaˆbˆ．若某同学根据上表中前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为ybxa，则yˆb,aˆb,aˆa

B．bˆa

A．bˆb,aˆb,aˆa

D．bˆa

C．b

10、某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）

销售y（件）

8

90

8.2

84

8.4

83

8.6

80

8.8

75

9

68

（I）求回归直线方程ybxa，其中b20，aybx；

（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润

= 销售收入－成本）

11、右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据。

（1）请画出上表数据的散点图；

x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 （2）求线性相关系数，并判断产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）是否有较强的线性相关关系；

（3）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa；

（4）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤。试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

y(能耗：吨标准煤)

5

4

3

2 1

o

1

2

3

4

5

6

x(产量：吨)