三 反证法与放缩法名师教学设计2

课题6：不等式证明四（反证法与放缩法）

一、反证法：

有些不等式无法利用用题设的已知条件直接证明，我们可以间接的方法――反证法去证明，

即通过否定原结论―――导出矛盾―――从而达到肯定原结论的目的。

例1、

若x, y > 0，且x +

y >2，则1y1x和中至少有一个小于2。

xy反设1y1x≥2，≥2

∵x, y > 0，可得x + y ≤2

与x + y >2矛盾，∴原式成立

xy例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0

证：（1）设a < 0,

∵abc > 0,

∴bc < 0

又由a + b + c > 0,

则b + c = a > 0

∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc <

0

与题设矛盾

（2）若a = 0，则与abc > 0矛盾，

∴必有a > 0

同理可证：b > 0,

c > 0 例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b, (1  b)c, (1  c)a,不可能同时大于

证：设(1  a)b >来源学科网

1

4111,

(1  b)c >,

(1  c)a >,

4441则三式相乘：

(1  a)b•(1  b)c•(1  c)a >

①

64来源:Z§xx§k.Com]1(1a)a又∵0 < a, b, c < 1

∴0(1a)a

24同理：(1b)b211,

(1c)c

441

与①矛盾. 64

来源学科网以上三式相乘：

(1  a)a•(1  b)b•(1  c)c≤∴(1  a)b, (1  b)c, (1  c)a,不可能同时大于二、放缩法：

14在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候,可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A>B，我们可以适当的找一个中间量C作为媒介，证明A>C且C>B,从而得到A>B.我们把这种把B放大到C(或把A缩小到C)的方法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握,技巧性较强,这关系到证明的成败,往往需要根据具体的题目经过多次的探索和试验才能成功,因此必须多练. 比较常用的方法时把分母或分子适当放大或缩小（减去或

加上一个正数）使不等式简化易证。

例4、若a, b, c, dR+，求证：1abcabdbcacdbddac2

证：记m =abcabdbcacdbddac

∵a, b, c, dR+

∴mababcdabcaccdabddabc1

maabbabccdddc2

来源:Z.xx.k.Com]

∴1 < m <

2

即原式成立

例5、当

n > 2 时，求证：logn(n1)logn(n1)1

证：∵n > 2

∴logn(n1)0,logn(n1)0

log(n1)loglogn1)log2n(n1)logn21)2log22n(n(nnnn(n1)2221，∴时,

logn(n1)logn(n1)1

例6、求证：1111222321n22

证：∵111n2n(n1)n11n

1111111∴122232n21＋12＋23＋34＋1(n-1)n 1（112）（1213）（1n11n）21

n2思考：若把不等式的右边改成74

或6136，你可以证明吗？

例7、

求证：|ab|b1|ab||a|1|a|1b

证：∵|a+b|≤|a|+|b||a|+|b|-|a+b|≥0, n > 2

ab1abab1abab(abab)1ab(abab)a1abb1ab(课本P22“溶液”例结论）a

（把分母减小，使分式放大）.1bb1aabab即:.1ab1a1b作业补充题

1、设0 < a, b, c

< 2，求证：(2  a)c, (2  b)a, (2  c)b,不可能同时大于1 2、设f(x)axbxc,其中a、b、cZ，并且a1.试证明:b24ac0

2123、设f(x)xpxq,求证：f(1) 、

f(2)

、

f(3)中至少有一个不小于

2

4、设x > 0,

y > 0,axyxy, b，求证：a < b 1xy1x1y5、证明：111121(nR,n2)

nn1n2n1140

abbcca

6、

证明：lg9•lg11 < 1 7、

证明：若a > b > c,

则教后反思：