探究与发现 组合数的两个性质全国优秀课堂实录

组合数的两个性质

王晓（马鞍山二中郑蒲港分校）

一、教学目标

1．通过实例，探究组合数的两个性质，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，养成良好思维与学习习惯；

2．理解并掌握组合数的两个性质，并能利用性质解决有关计算、化简等问题，提升学生数学抽象、数学运算等素养．

二、教学重、难点

教学重点：组合数的两个性质的探究与理解．

教学难点：利用组合数性质（尤其是第二个性质）进行解决相关的计算、化简等问题．

三、教学过程

（一）复习回顾

教师：上一节课，我们学习了组合与组合数公式，请大家回忆一下，它们的定义及组合数公式的两种表达形式．

970129222222计算：（1）C100（2）C4

（3）C2. C5C6C13C3C2C4C5C10学生思考并尝试计算2分钟后，教师提问：我们是否有简洁的计算方法呢？进而揭示课题：“组合数的两个性质

”．

（二）探究新知

探究1.某小组有7人，

（1）选出3人参加植树劳动，可以有多少种不同的选法？

（2）选出4人参加清扫校园劳动，可以有多少种不同的选法？

学生计算之后教师提出问题：

思考1：为何上面两个不同的组合数其结果相同？这一结果的组合的意义是什么？

对应

从7位同学中选出3从剩下的4位同学构

位同学构成的组合

成的组合

从7位同学中选出3位同从剩下的4位同学构等于

34

学构成的组合数C7

成的组合数C7

【意图】通过先行组织者，帮助学生建构新知，一方面为学生新知识的学习设置梯度，易于接受，一方面为后面内容的学习（性质1的推广、性质2的解释）奠定基础，让学生较轻松地达到与本节课相关的最近发展区里的知识目标．

思考2：上述情况加以推广可得组合数有怎样的性质？

从n个元素中选出m从剩下的nm个元

对应

个元素构成的组合

素构成的组合

从n个元素中选出m个

等于

- 1 - 从剩下的4位同学构成的组合数Cnnm元素构成的组合数C

mn

【意图】有特殊到一般，培养学生合情推理能力. mnm1．组合数的

性质1：Cn

Cn理解：

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n



m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n



m个元素的每一个组合一一对应，所以从n．．．．个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n



m个元素的组合数，即：mnm．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．

CnCn思考4：上述结论一定成立吗？如何证明？

【意图】通过合情推理获得猜想（结论），再通过演绎推理进行论证，再次让学生体悟两者相辅相成的关系，同时培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，养成良好思维与学习习惯. nm证明：∵Cnn!n!

(nm)![n(nm)]!m!(nm)!mnmn!

∴CnCn

m!(nm)!m

又

Cn0（教师补充：由于Cn1，等式在mn时也成立．）

教师引导学生观察公式特点及常见应用

（1）等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．

nmnm（2）此性质作用：当m时，计算Cn可变为计算Cn，能够使运算简化．

2x

（3）

CnCnyxy或xyn．

【意图】通过对公式特点的探究，加深学生对公式的理解和应用意识. 97练习：

（1）计算C100．

2xx7（2）已知C25，求x．

C25t（3）已知Ct14Ct4，求C20．

【意图】通过练习，帮助学生熟练掌握公式以及应用能力. 探究2.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

（1）从口袋内取出3个球,共有多少种取法？

（2）从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法？

（3）从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？

323解：⑴

C856

⑵

C721

⑶

C735

思考5：从此例三问的计算结果我们发现它们之间有怎样的关系呢？

你能否对这一结果作出解释吗？（让学生思考并回答）

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实际上，从口袋内的8个球中所取的3个球，可分为两类：

2

一类：含1个黑球，2个白球；就是从7个白球中取出2个，取法种数是C7

3

二类：不含黑球，3个都是白球；就是从7个白球中取出3个，取法种数是C7

∴由分类加法计数原理可得上述等式成立．

思考6：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？（从特殊到一般）

【意图】类比性质1的解释，引导学生从一个排列组合的运算结果或等式出发，构造一个实际问题加以解释意识，这样有助于学生对问题的深入理解，检查纠错．

m

一般地，从a1,a2,a3,an1这n1个不同的元素中取出m个的组合数是Cn1

而另一方面，这些组合又可以分成两类：

一类：含有a1的组合是从余下的a2,a3,an1这n个不同的元素中取出m1个元素与a1m1组成的，共有Cn个；

二类：不含有a1的组合是从余下的a2,a3,an1这n个不同的元素中取出m个元素组成的，m共有Cn个；

mm1m∴由分类加法计数原理，得组合数的性质2：

Cn

Cn1Cn教师：你能证明这个性质吗？（教师给学生2分钟证明并利用展台展示，最后教师引导学生分析、观察公式特点，便于学生记忆和应用）．

mm1证明：

CnCnn!n!

m!(nm)!(m1)![n(m1)]!

n!(nm1)n!m

m!(nm1)!

(nm1m)n!

m!(nm1)!

(n1)!

m!(nm1)!m

Cn1

mmm1

∴

Cn．

1＝Cn+Cn【意图】通过对性质2的证明，一方面复习有关组合数公式的灵活应用，一方面加深学生对该性质的理解和记忆，为能熟练运用该性质奠定良好基础．

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m例1.化简（用Cn形式表示）

9089C99C99

1099089变式1.C2019C2018

；变式2.C100C99

；

3322CCC898变式3.C

C0；

变式4.计算：

7m8m0129例2.计算（1）C4

C5C6C132222（2）C2

C3C4C10思考：化简（1）Cn（2）Cn0nnnCn1Cn2nnCnm1Cnm

12Cn1Cn2m2m1mCnm2Cnm1Cnm

（学生思考并计算推导）

nnnnnn1CnCnCCCC1n2nm1nmnm1012CnCn1Cn2m2m1mmCnm2Cnm1CnmCnm1

：【意图】通过例1和例2让学生进一步掌握对于这两个性质（尤其是性质2）的应用，突破难点，同时提升学生数学运算的素养.

四、课堂小结

本节课，你有哪些收获？

（教师提问：教师根据学生的回答再总结）

【意图】设置开放性的问题，让学生总结反思，内化和升华新知. 五、课后探究 kmkmk

你能构造一个实际背景，对等式CnCnCCknm的意义作出解释吗？

【意图】让学生利用本节课学习到的探究方法，处理类似问题，一方面巩固本节课所学知识，一方面更进一步掌握有关组合问题的综合应用能力，提升学生的数学建模、数学抽象等素养.

六、课后作业

x12x3（1）解方程：C13.

C133456（2）计算：C7. C7C8C9（3）若Cn1CnCn，则n . nnn1n2（4）求证：Cm2＝Cm+2Cm+Cm.

778（5）解方程：Cx2Cx2x2x313Ax3. 10

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