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两个基本计数原理的教学设计

重庆市大足第一中学校 李寿英

一、教材分析

1．

地位和作用

两个基本计数原理是处理计数问题的最基本、最重要的方法，它为后面学习排列、组合、随机变量的概率等内容提供了思想和理论依据。

2．

新旧教材的变化

新旧教材最大区别在于：旧教材是先学习两个计数原理后学习概率，体现由理论到应用的过程；而新教材是在学习了古典概型的基础上提出了本节内容，体现了由实践到理论、再到实践的过程，学生在具备一定的计数能力（树形图、列举法等）和实例的前提下，能更好更快地体会两个基本原理的作用与适用范围，在实践中能更灵活地运用两个基本原理来解决问题。这样的设计能为学习构建牢固的知识框架。

3．

教学目标

（1）知识与技能。通过实例，总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征、选择恰当的原理解决一些简单的实际问题。

（2）过程与方法。经历由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，学生体验到发现数学、运用数学的过程。

（3）情感、态度与价值观。体会真理源于实际、服务于实际的道理，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣，体现数学实际应用和理论相结合的统一美。

课程标准指出，必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求，选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求，它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程。它力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。因此，在数学课堂教学上不仅要重视知识的形成过程及其运用价值，还要重视学生情感、态度、价值观的正确导向。前者已能被广大师生所重视，1

而后者往往会被教师忽视，但它是新教材的亮点之一，对发展学生理性思维、不断创新发挥着独特的作用。

4．

教学重点和难点

分类加法计数原理与分步乘法计数原理的推导及简单运用是本节课的重点与难点。两个原理的推导与应用对以后排列、组合、二项式定理等内容的掌握有着理论支撑的作用。同时，知识与实践的紧密结合，能让学生感受数学的广泛应用，增强学生研究数学的兴趣。

二、教学方法

（1）创设情境——提出问题——探索尝试——引导归纳——拓展应用

（2）教具：多媒体投影系统

三、学法指导

（1）学生在学习概率这一节后，已具备一定的计数能力，在此基础上归纳两个计数原理是比较简单的，可以充分发挥学生的自主性。

（2）引导学生感悟两个计数原理的区别与联系及其应用的前提条件、应用的注意点。

四、教学过程

新课标的所有要求都是在向课堂要效率，一个优质课堂必须达到三个“有”：有效果，即让所有学生能理解原理；有效率，即90%的学生会运用知识；有效益，即在考试中出成绩。

1.问题情境

问题一：

你想去北京旅游吗？如果选择乘火车和坐飞机，现从重庆到北京火车有5班，飞机有7班．你有多少种出行方法？

思考：这里要完成什么事情？这么多种方法怎么得来的？

如果完成一件事有三类不同方案呢？四类不同方案呢？……n类不同方案呢？

问题二：

某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法有多少种？

思考：这里要完成什么事情？这么多种方法是怎么得出的？

如果完成一件事有三个步骤呢？四个步骤呢？……n个步骤呢？

2

2.形成原理，提炼解题方法

由学生讨论并区分类别，总结方法，教师引导归纳，投影仪打出两个原理。

分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法。那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

如果完成一件事，有n类方案，即可推广为：在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N =m1+m2+… +mn种不同的方法。

分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法

，那么完成这件事共有N=mn种不同的方法。

如果完成一件事，需要经过n个步骤，即可推广为：完成第1步有m1种不同的方法，完成第2步有m2种不同的方法……完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2…mn种不同的方法。

概括比较：加法原理是将一个问题分成若干类，并且每一类都能使问题（事情）得到解决；而乘法原理是将一个问题分成若干个步骤，但每一步并不能解决问题（事情）。在具体实例中，两种原理并不冲突，有可能会同时用到，它们是分析并解决问题的基本方法。通过学生对例题的研究与讨论，可以及时提升学生对两个基本原理的理解，体现两个基本原理的实际运用价值。

3.及时巩固，辨析异同

新课标总目标要求学生在双基能力、思想品质方面得到充分的发展，双基是实现总目标的基础环节，是学生发展能力与个性的载体。在学生掌握两个基本计数原理的基础上，及时给时间让学生检验自己的研究成果，不但能起到巩固的效果，而且能增加学习的信心与兴趣。

例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，Ａ、Ｂ两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

Ａ大学 Ｂ大学

生物学 数学

化学 会记学

医学

信息技术学 物理学

法学

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工程学

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？

例２

设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种选法？

例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．

（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架的第1、2、3层各取一本书，有多少种不同取法？

例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上指定位置，共有多少种不同的挂法？

对这些题我们安排学生自主探究，合作交流，进一步体会加法与乘法原理的区别，加强学生在实际解题中分步、分类解决问题的能力，能充分体现课堂的有效性。两个基本计数原理的难点在于如何将一件事划分成几类或者几个步骤，学生尚处于模仿探索阶段，

通过此几例可增加学生思维容量，深化对计数原理的理解。

4.课堂练习

练习1 一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是_________。

练习2 从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是_________。

练习3 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名,问：

(1) 从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法? (2) 从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法? 这些题都是计数原理中的经典题目，可以有效地考察学生对本节课的掌握情况，并能给予尚未清楚的学生一定的思考与吸收的时间，在一定程度上体现本节课的教学效果。

5.回顾小结

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（1）分类计数原理、分步计数原理的推导及灵活运用，正确区分“分类”还是“分步”是 关键。

（2）会恰当地分类与分步解决简单的计数问题，具体问题具体分析。

6.布置作业

（1）

课本第12页第1、2题。

（2）

思考题：小李用数字5，6，7，8为手机设四位密码，他想用6，8为尾数，共有多少种结果？

结束语

请同学们课后找些生活中有关计数的题目，并记载下来。若遇到不能解决的题目，同学们可以互相讨论一下，记住要用好两个计数原理，关键是分清完成一件是分类完成还是分步完成的区别。事实上，生活与科学上很多计数问题需要用这两个基本原理来处理。同样，我们在学习中，只要打好基础，就能灵活运用，充分发挥自己的聪明才智。

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