1.不等式的基本性质教学创新设计

课题：不等式的证明方法——比较法

一．教学目标

（一）知识目标

（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；

（2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；

（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。

（二）能力目标

（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；

（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；

（3）训练学生思维的灵活性。

（三）德育目标

（1）激发学习的内在动机；

（2）养成良好的学习习惯。

二．教学的重难点

（一）教学重点

不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的

（二）教学难点

借助与0或1比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途

三.教学过程

(一)、新课学习：

1.作差比较法的依据：

abab0

abab0

abab0

作差比较法的步骤：作差—变形（化简）—定号（差值的符号）—得出结论

2.作商比较法的原理和步骤：

a,bRa1baab1baab1b

作商比较法的步骤：作商—变形（化简）—判断（商值与实数1的关系）—得出结论

(二)、典型例题：

ab例1、已知a,b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2. 证明：采用差值比较法：

(a3b3)(a2bab2)(a3a2b)(b3ab2)a2(ab)b2(ba)(a2b2)(ab)(ab)2(ab)ab,a,b0(ab)20,ab0(ab)2(ab)0a3b3a2bab2 假如没有已知a,b都是正数这个条件，结论又该分几种情况进行讨论？

例2、若实数x1，求证：3(1x2x4)(1xx2)2.

证明：采用差值比较法：

（因式分解）

3(1x2x4)(1xx2)2

=33x23x41x2x42x2x22x3

=2(x4x3x1)

=2(x1)2(x2x1)

13 =2(x1)2[(x)2].（配方法）

2413x1,从而(x1)20,且(x)20,

2413∴ 2(x1)2[(x)2]0,

24 ∴ 3(1x2x4)(1xx2)2. 若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

a例3.如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖的质量分数为.b若在上述溶液中再添加mkg白糖，此时糖的质量分数增加到将这个事实抽象为数学问题，并给出证明.解：可以把上述事实抽象成如下不等式问题：已知a,b,m都是正数，并且ab,则下面给出证明.将不等式两边相减，得ab,ba0;又amam(ba)(通分)bmbb(bm)amabmbam.bma,b,m都是正数，所以m(ba)0,b(bm)0m(ba)ama0即0b(bm)bmbamabmbabba例4、已知a,bR,求证：abab.

证明：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0

差值比较法失效采用商值比较法：

a1,ab0,

baabbabaaabb(ab)()ababb aab当ab时（）1baaab当ab0时，1,ab0,（）1bbaaab当ba0时，0<1,ab0,（）1bbaabbabba

故原不等式得证.

abc例5.若abc0，求证abc(abc)abc3.. 证：abc0则ab,bc,ac0aba同时,,1bccbbcacaabbccaaba()3()3()31abcbcc(abc)3即aabbcc(abc)abc3

2a1.

21a(三)、课堂练习：

1．已知a1.

求证：（1）a22a1; （2）2.已知a,b,c是正数，求证a2ab2bc2cabcbcacab

四、课时小结：

比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断、得出结论。“变形”是解题的关键，是最重要的一步。作差常用的变形方法有：因式分解法、配方法、通分法，把差变形为几个因式的乘积，或其它可判断符号的形式，作商变形主要判断商值与1的大小关系，大多数情况如上面例4、5最终可化为指数函数形式利用指数函数的单调性与性质来进行判断较容易. 五、布置作业：

课本23页第1、2、3题。