三 排序不等式教案和学案内容

第三讲柯西不等式与排序不等式复习

一、知识梳理

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二、题型、技巧归纳

题型一、利用柯西不等式证明简单不等式

柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式．

例1已知a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，求证：13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≤43.

[再练一题] a2b2a＋b1．设a，b，x，y都是正数，且x＋y＝a＋b，求证：＋≥. a＋xb＋y2

题型二、排序原理在不等式证明中的应用

应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．

a2＋b2b2＋c2c2＋a2例2已知a，b，c为正实数，求证：a＋b＋c≤＋＋. 2c2a2b

[再练一题] 2．设a，b，c∈R＋，求证：a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.

题型三、利用柯西不等式、排序不等式求最值

[来源学科网]

有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．

例3

设a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝13，求3a＋2b＋c的最大值．

[再练一题] 3．已知实数a，b，c，d，e满足a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16.求a＋b＋c＋d＋e的最大值.

三、随堂检测

1．已知关于x的不等式|x＋a|

(1)求实数a，b的值；

(2)求at＋12＋bt的最大值．

2．已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4. (1)求a＋b＋c的值；

11(2)求a2＋b2＋c2的最小值．

493．已知x>1，y>1，且lg x＋lg y＝4，那么lg x·lg y的最大值是(

) 11A．2

B.

C.

D．4 244．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(4a＋1＋4b＋1)2的最大值是(

) A．26 C．6 5．数列{an}的通项公式an＝A．第9项

C．第10项

B.6 D．12 n，则数列{an}中的最大项是(

) n2＋90B．第8项和第9项

D．第9项和第10项

参考答案

1.【解】

(1)由|x＋a|

－b－a＝2，a＝－3，则解得

b－a＝4，b＝1.

(2)－3t＋12＋t＝34－t＋t≤[32＋12][4－t2＋t2] ＝24－t＋t＝4，

当且仅当[来源学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com]

4－tt＝，即t＝1时等号成立，

13故(－3t＋12＋t)max＝4. 2.【解】

(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，

当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．

又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，

所以f(x)的最小值为a＋b＋c. 又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得

[来源学科网]

1a2＋1b2＋c2(4＋9＋1)≥

94a×2＋b×3＋c×12＝(a＋b＋c)2＝16，即1a2＋1b2＋c2≥8. 3249711ab23c8182118当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立，故a2＋b2＋c2的最小值是. 2317774973.【解析】

∵4＝lg x＋lg y≥2lg x·lg y，

∴lg x·lg y≤4.

【答案】

D 4.【解析】

(4a＋1＋4b＋1)2

＝(1×4a＋1＋1×4b＋1)2

≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1) ＝2[4(a＋b)＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12，

当且仅当4b＋1＝4a＋1，

1即a＝b＝时等号成立．故选D. 2【答案】

D

5.【解析】

an＝n1＝≤90n＋90n＋n2211＝，

90610n×n

90当且仅当n＝，即n＝310时等号成立．

n又n∈N＋，检验可知选D. 【答案】

D