二 用数学归纳法证明不等式ppt配套的教学设计方案

二

用数学归纳法证明不等式举例

一、选择题

1.用数学归纳法证明1+

+…+1)时,第一步是证下述哪个不等式成立(

)

-

A.1<2

B.1+

<2 C.1+

<2

D.1+

<2 解析:当n=2时,左边=1+

,右边=2,所以应证1+

<2.

答案:C[来源学#科#网Z#X#X#K]

2.用数学归纳法证明式子“1+

+…+

-

1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是(

) A.2k-1

B.2k-1 C.2k

D.2k+1 解析:当n=k时,不等式1+

+…+

-

+…+

-

+…+

-

,比较n=k时的不等式左边,可知左边增加了2k+1-1-(2k-1)=2k+1-2k=2k(项).

答案:C 3.已知a1=1,an+1>an,且(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0,先计算a2,a3,再猜想an等于(

) A.n B.n2

C.n3

D.

解析:∵(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0,∴(a2-1)2-2(a2+1)+1=0, ∴a2=4,或a2=0(舍去).

同理a3=9,或a3=1(舍去).

∴猜想an=n2.

答案:B 4.用数学归纳法证明不等式不等式左边(

)A.增加了一项

[来源学科网][来源:Zxxk.Com]

+…+

(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时

B.增加了两项

C.增加了两项

,但减少了一项

D.以上各种情况均不正确

解析:当n=k时,不等式为

+…+

;当n=k+1时,不等式左边

=

+…+

+…+

.比较n=k和n=k+1,易知选C.

答案:C[来源学&科&网]

5.某同学回答“用数学归纳法证明

=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由(1)(2)可知对于n∈N+,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于(

) A.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设

B.归纳假设的写法不正确

C.从k到k+1的推理不严密

D.当n=1时,验证过程不具体

解析:证明

<(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设

答案:A 二、非选择题

6.观察下式:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72,…,可得出结论:

.

解析:各等式的左边是第n个到第3n-2个连续自然数的和,右边是奇数的平方,故得出结论:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.

答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2

7.在△ABC中,不等式

成立;在四边形ABCD中,不等式

成立;在五边形ABCDE中,不等式

成立.猜想在n边形A1A2…An中,其不等式为

.

答案:

+…+

-

8.求证:

+…+

(n≥2,n∈N+).

解：证明:(1)当n=2时,左边=

,不等式成立.

(2)假设当n=k时(k≥2,k∈N+), 有

+…+

成立,

则当n=k+1时,

+…+

来源学 科 网

=

+…+

-

>

-

>

-

=

-

.

所以当n=k+1时,不等式也成立.

由(1)(2)知,原不等式对一切n≥2,n∈N+均成立.

9.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N+,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.

(1)求r的值; (2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N+),证明对任意的n∈N+,不等式成立.

解: (1)因为对任意的n∈N+,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上, 所以Sn=bn+r.当n=1时,a1=S1=b+r.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r)=bn-bn-1=(b-1)bn-1.

又因为{an}为等比数列,所以r=-1,公比为b,an=(b-1)·bn-1(n∈N+).

(2)证明:当b=2时,an=(b-1)bn-1=2n-1,bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n, 则

·…·

,所以

·…·

=

×…×

.

下面用数学归纳法证明不等式

·…·

×…×

成立.

①当n=1时,左边=

,右边=

,因为

,所以不等式成立.

②假设当n=k(k∈N+,k≥1)时不等式成立,即成立,则当n=k+1时,左边=

·…·

×…×

·…·

×…×

.

所以当n=k+1时,不等式也成立.

由①②可得所证不等式恒成立.