2.2.1 综合法和分析法教学设计实例

2．1.1

综合法和分析法

预习课本P85～89，思考并完成下列问题

(1)综合法的定义是什么？有什么特点？

(2)综合法的推证过程是什么？

(3)分析法的定义是什么？有什么特点？

(4)分析法与综合法有什么区别和联系？

[新知初探]

1．综合法

定义

推证过程

特点

顺推证法或由因导果法

利用已知条件和某些数学定义、公理、P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法

2.分析法

定义

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)Q⇐P1→P1⇐P2

→P2⇐P3→…→

得到一个明显成立的条件

框图表示

特点

逆推

证法

或执

果索

因法

→…→Qn⇒Q(P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论).

为止．这种证明方法叫做分析法

3．综合法、分析法的区别

推理方向

解题思路

表述形式

思考的侧重点

[点睛]

一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．(

) (2)分析法就是从结论推向已知．(

) (3)所有证明的题目均可使用分析法证明．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

2．若a＞b＞0，则下列不等式中不正确的是(

) A．a2＞ab

11C.a＞b

答案：C 3．欲证2－3＜6－7成立，只需证(

) A．(2－3)2＜(6－7)2

B．(2－6)2＜(3－7)2

C．(2＋7)2＜(3＋6)2

D．(2－3－6)2＜(－7)2

答案：C 4．如果aa＞bb，则实数a，b应满足的条件是________．

答案：a＞b＞0

B．ab＞b2

D．a2＞b2

综合法

顺推，由因导果

探路较难，易生枝节

形式简洁，条理清晰

侧重于已知条件提供的信息

分析法

倒溯，执果索因

容易探路，利于思考

叙述繁琐，易出错

侧重于结论提供的信息

综合法的应用

CA3

[典例]

在△ABC中，三边a，b，c成等比数列．求证：acos2

＋ccos2

≥b. 222[证明]

∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac. a1＋cos Cc1＋cos A∵左边＝＋

2211＝(a＋c)＋(acos C＋ccos A) 22222b2＋c2－a211a＋b－c＝(a＋c)＋a·

＋c·222ab2bcbb311＝(a＋c)＋b≥ac＋＝b＋＝b＝右边，

22222CA3∴acos2＋ccos2

≥b. 222当且仅当a＝c时等号成立．

综合法的解题步骤

[活学活用] 1．已知a，b，c，d∈R，求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．

证明：∵左边＝a2c2＋2abcd＋b2d2

≤a2c2＋(a2d2＋b2c2)＋b2d2

＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝右边，

∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．

2．设数列{an}满足a1＝0，(1)求{an}的通项公式；

11－＝1. 1－an＋11－an

(2)设bn＝解：(1)∵1－an＋1，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，证明：Sn＜1. n11－＝1，

1－an＋11－an1∴1－a是公差为1的等差数列．

n又∵111＝1，∴＝n，an＝1－n. 1－a11－an(2)证明：由(1)得

bn＝1－an＋1n＋1－n11＝＝－，

nnn＋1·nn＋1111111＋－＋…＋－＝1－＜1. n223n＋1n＋1∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－∴Sn＜1.

[典例]

设a，b为实数，求证：

[证明]

当a＋b≤0时，∵

∴a2＋b2≥2(a＋b)成立．

2a2＋b2≥分析法的应用

2(a＋b)．

2a2＋b2≥0，

当a＋b＞0时，

用分析法证明如下：要证

只需证(a2＋b2)2≥a2＋b2≥2(a＋b)，

22a＋b2. 21即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab. 2∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，

∴

a2＋b2≥

分析法证明不等式的依据、方法与技巧

(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；

(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；

(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；

2(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．

2

(4)应用技巧：用分析法证明

数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．

[活学活用] 已知a，b，c都为正实数，求证：

证明：要证

a2＋b2＋c2a＋b＋c≥. 33a2＋b2＋c2a＋b＋c≥，

33a2＋b2＋c2a＋b＋c2只需证≥33，

只需证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，

只需证2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，

只需证(a－b)＋(b－c)＋(c－a)≥0，而这是显然成立的，所以

成立.

[典例]

已知a，b，c是不全相等的正数，且0＜x＜1. a＋bb＋ca＋c求证：logx＋logx＋logx＜logxa＋logxb＋logxc. 222a＋bb＋ca＋c[证明]

要证明logx＋logx＋logx

222＜logxa＋logxb＋logxc，

a＋bb＋ca＋c只需要证明logx2·2·2＜logx(abc)，

由已知0＜x＜1，只需证明由公式a＋bb＋ca＋c··＞abc，

222分析法与综合法的综合应用

222a2＋b2＋c2a＋b＋c≥33a＋bb＋c≥ab＞0，≥bc＞0，

22a＋c≥ac＞0.又∵a，b，c是不全相等的正数，

2∴即a＋bb＋ca＋c··＞

a2b2c2＝abc. 222a＋bb＋ca＋c··＞abc成立．

222a＋bb＋ca＋c∴logx＋logx＋logx＜logxa＋logxb＋logxc成立．

222

分析综合法的应用

综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．

[活学活用] 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c为三个内角对应的边长，求证：113＋＝. a＋bb＋ca＋b＋c113证明：要证＋＝，

a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋cca即证＋＝3，即证＋＝1. a＋bb＋ca＋bb＋c即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，

即证c2＋a2＝ac＋b2. ∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列．

∴B＝60°. 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos 60°，

即b2＝c2＋a2－ac. ∴c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．

层级一

学业水平达标

111．若a＞b＞1，x＝a＋a，y＝b＋b，则x与y的大小关系是(

) A．x＞y

C．x≥y

B．x＜y

D．x≤y

1解析：选A

因为函数y＝x＋x在[1，＋∞)上是增函数，又因为a＞b＞1，∴x＞y. xy112．已知a，b，x，y均为正实数，且a＞b，x＞y，则与的大小关系为(

) x＋ay＋bxyA.＞

x＋ay＋bxyC.＜

x＋ay＋b解析：选A

∵a，b均为正数，

11∴由a＞b得0＜a＜b，

又∵x＞y＞0，

∴xb＞ay. ∴xy＋xb＞xy＋ay. xy

B.≥

x＋ay＋bxy

D.≤

x＋ay＋b

即x(y＋b)＞y(x＋a)．

两边同除正数(y＋b)(x＋a)，

得xy＞，故选A. x＋ay＋b3．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件(

) A．a2＜b2＋c2

C．a2＞b2＋c2

B．a2＝b2＋c2

D．a2≤b2＋c2

b2＋c2－a2解析：选C

由cos A＝＜0，得b2＋c2＜a2. 2bc4．若a＝ln 2ln 3ln 5，b＝，c＝，则(

) 235

B．c＜b＜a

D．b＜a＜c

1－ln xln x，则f′(x)＝，∴0＜x＜e时，f′(x)xx2ln 4，∴b＞a＞c. 4A．a＜b＜c

C．c＜a＜b

解析：选C

利用函数单调性．设f(x)＝＞0，f(x)单调递增；x＞e时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．又a＝5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(

) A．恒为负值

C．恒为正值

B．恒等于零

D．无法确定正负

解析：选A

由f(x)是定义在R上的奇函数，

且当x≥0时，f(x)单调递减，

可知f(x)是R上的单调递减函数，

由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)

解析：该证明过程符合综合法的特点．

答案：综合法

7．如果aa＋bb＞ab＋ba，则正数a，b应满足的条件是________．

解析：∵aa＋bb－(ab＋ba) ＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b) ＝(a－b)2(a＋b)．

∴只要a≠b，就有aa＋bb＞ab＋ba.

答案：a≠b

－1n18．若不等式(－1)a＜2＋n对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是＋n________．

11133解析：当n为偶数时，a＜2－n，而2－n≥2－＝，所以a＜，当n为奇数时，a＞222113－2－n，而－2－n＜－2，所以a≥－2.综上可得，－2≤a＜. 23－2，

答案：2119．已知a＞0，b－a＞1. (1)求证：0＜b＜1；

(2)求证：1＋a＞1. 1－b1111证明：(1)由a＞0，－＞1可得＞＋1＞1，

baba所以0＜b＜1. (2)因为a＞0,0＜b＜1，要证1＋a＞只需证1＋a·1－b＞1，

即证1＋a－b－ab＞1，

a－b即证a－b－ab＞0，即ab＞1，

11又－＞1，这是已知条件，所以原不等式得证．

ba10．已知数列{an}的首项a1＝5，Sn＋1＝2Sn＋n＋5，(n∈N*)．

(1)证明数列{an＋1}是等比数列．

(2)求an. 解：(1)证明：由条件得Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋5(n≥2)①

又Sn＋1＝2Sn＋n＋5，②

②－①得an＋1＝2an＋1(n≥2)，

an＋1＋12an＋1＋12an＋1所以＝＝＝2. an＋1an＋1an＋1又n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，且a1＝5，

所以a2＝11，所以a2＋111＋1＝＝2，

a1＋15＋11，

1－b所以数列{an＋1}是以2为公比的等比数列．

(2)因为a1＋1＝6，所以an＋1＝6×2n1＝3×2n，

－所以an＝3×2n－1. 层级二

应试能力达标

111．使不等式a＜b成立的条件是(

) A．a＞b

C．a＞b且ab＜0

B．a＜b

D．a＞b且ab＞0 b－a1111解析：选D

要使＜，须使－＜0，即＜0. ababab若a＞b，则b－a＜0，ab＞0；若a＜b，则b－a＞0，ab＜0. 2．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是(

) A．sin(α＋β)＞sin α＋sin β

B．sin(α＋β)＞cos α＋cos β

C．cos(α＋β)＞sin α＋sin β

D．cos(α＋β)＜cos α＋cos β

解析：选D

因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．

y143．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值xy4范围是(

) A．(－1,4) C．(－4,1)

B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)

D．(－∞，0)∪(3，＋∞) y4x·4xyy14yy4x14x＋＋＝2＋＋≥2＋2解析：选B

∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋＝xy44xy4xyy＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋的最小值为4，要使不等式m2－3m＞x4y＋有解，应有m2－3m＞4，∴m＜－1或m＞4，故选B. 44．下列不等式不成立的是(

) A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

B.a＋b＞a＋b(a＞0，b＞0) C.a－a－1＜a－2－a－3(a≥3) D.2＋10＞26 解析：选D

对A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对B，∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(a＋b)2＝a＋b，∴a＋b＞a＋b；对C，要证

a－a－1＜a－2－a－3(a≥3)成立，只需证明a＋a－3＜a－2＋a－1，两边

平方得2a－3＋2aa－3＜2a－3＋2a－2a－1，即aa－3＜a－2a－1，两边平方得a2－3a＜a2－3a＋2，即0＜2.因为0＜2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)＜0，∴2＋10＜26，故D错误．

2aba＋b5．已知函数f(x)＝2x，a，b为正实数，A＝f，B＝f(ab)，C＝fa＋b，则A，2B，C的大小关系是________．

解析：∵2aba＋b2ab≥ab(a，b为正实数)，≤ab，且f(x)＝2x是增函数，∴fa＋b2a＋ba＋b≤f(ab)≤f2，即C≤B≤A. 答案：C≤B≤A

6．如图所示，四棱柱ABCD-

A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．

解析：要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C. 因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，

即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C. 答案：AC⊥BD(答案不唯一) 7．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C. ππ证明：在锐角三角形ABC中，∵A＋B＞，∴A＞－B. 22ππ∴0＜－B＜A＜，

22π0，内正弦函数y＝sin x是单调递增函数，

又∵在2π－B＝cos B，

∴sin A＞sin2即sin A＞cos B．①

同理sin B＞cos C，②

sin C＞cos A．③

由①＋②＋③，得：

sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.

8．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：

(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；

(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．

证明：(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，

由题知a＋b＝c＋d，ab＞cd，得(a＋b)2＞(c＋d)2，

因此a＋b＞c＋d. (2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，

即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd. 因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，

所以由(1)得a＋b＞c＋d. ②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，

即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd. 因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，

于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，

因此|a－b|＜|c－d|. 综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．