探究与发现 子集的个数有多少教案公开课一等奖

子集的个数有多少

唐秀英

一、

教材分析

本节课的教学内容是高中数学选修2-3P11的探究与发现《子集的个数有多少》。它安排在第一章第一节《计数原理》后，目的是利用计数原理探索有限集合的子集个数，但是，我是学习完整个第一章后再回头安排本节内容教学，目的是从多个角度分析，引导学生探究和发现结论，寻找不同的证明方法，跨模块间的有机统一，培养学生的发散思维。

二、

教学目的

知识与技能

探究有限集合子集的个数公式

过程与方法

在提出问题和解决问题的过程中，学习从特殊到一般，归纳到猜想的思维方法

情感与价值观

培养合作与讨论、交流与表达、探究与创造的研究行为和创新意识。

三、重难点

重点:

探究有限集合子集的个数公式及证明

难点:

有限集合子集的个数公式的证明

四、教法与学法分析

本节课是一节探究课，由特殊到一般，归纳推理，引导学生发现规律，然后由学生在课前做的准备，小组间讨论与合作交流，思考证明方法，再由学生代表上台展示他们的成果，最后老师点评，规范证明。

五、教学过程

课前准备

(1)子集的含义：

(2)写出集合{1}，{1，2}，{1,2,3}的所有子集：

(3) 计数原理及二项式定理：

（4）数学归纳法证题的步骤：

（5）预习教材P11至P12的探究与发现：

提出问题

1、

含有n个元素的集合的所有子集有多少个？

2、如何证明你的结论？

探究证明方法

一、从组合数和二项式定理角度思考

（由学生代表展示，老师点评，然后规范证明过程。）

aan}1,a2,a3,...证明：假设集合有n个元素，为{

该集合的子集按元素个数分，可以分为n+1类；

子集有0个元素：C

n0

子集有1个元素：Cn

子集有2个元素：C2n1

.................

子集有n个元素：Cn

012nnCCCC2nnnn把所有子集个数相加：

nn2所以“n个元素的集合有个子集”

二、从分类和递推的角度思考

（由学生代表展示，老师点评，然后规范证明过程。）

证明：令A= {aan}

，则A的子集可分两类：

1,a2,a3,...a

Ｉ类

不含元素1的子集;

II类

含元素a1

的子集。

记集合A的子集个数为f（n), a显然，第I类中集合子集的个数为f(n-1),而第II类是在第I类的基础上添加了1

，所以集合子集的个数也为f(n-1)。即集合A的所有子集个数为

f(n)=2f(n-1)

(n=1,2,3...,n) 重复运用上述递推得到

f(n)=2f(n-1)=f(n-2)=2f(n-3)=...=32nf(0) 又f(0)=1,所以

f(n)= 2n

三、从构造法和分步计数原理的角度思考

（由学生代表展示，老师点评，然后规范证明过程。）

证明：令A= {aan}1,a2,a3,...，则A的任一子集都可由每个元素“参加”和“不参加”两种情况构成，

因此要构成A的子集可分为n步来做。

第一步，考虑元素，有“参加”和“不参加”两种情况

a

第二步，考虑元素2，有“参加”和“不参加”两种情况

.................

第n步，考虑元素an，有“参加”和“不参加”两种情况

由分步计数原理可得A的子集个数为

f(n)= 222nn2=

四、从数学归纳法的角度思考

（由学生代表展示，老师点评，然后规范证明过程。）

证明：令A= {aan}1,a2,a3,...

的所有子集个数为

f(n)= 2n

1）当n=1时，A={a},含有2个子集，等式成立。

2）假设n=k时等式成立，含有k个元素的集合的所有子集个数为即f(k)= ，

其子集含有两类：

，那么当n=k+1时，A=

第一类不含第二类含有f(k+1)= ak1ak1，根据归纳假设有f(k)= ，在第一类的基础上每个集合添加= ,所以等式成立。

ak1

得到，故也有个，因此有+ 综合1）、2）可得对n

N,有f(n)= 即

A= 2n

2n

{aan}1,a2,a3,...

的所有子集个数为f(n)=

引申结论（由学生回答）

1、含n个元素的集合的所有子集个数为多少个？

2、含n个元素的集合的所有真子集个数为多少个？

3、含n个元素的集合的所有非空子集及非空真子集个数分别是多少？

应用与创新

1、已知集合{1,2}M{1,2,3,4，5}，则这样的集合M有几个？

2、设集合A={1,2}，则满足A∪B={1,2,3}的集合B有哪些？

3、已知集合M={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合P满足PM，且若则这样的集合P有几个？

板书设计

子集的个数有多少

一、提出问题，发现结论

二、探究结论的证明方法

1、从组合数和二项式定理思考

2、从构造法和分步计数原理的角度思考

3、从分类和递推的角度思考

4、从数学归纳法的角度思考

三、小结

四、应用与创新

有10aP

，