小结优质课一等奖

§1．3．1二项式定理

霍山上土市中学

夏敬波

教学目标：

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

教学难点：二项式定理及推导过程

授课类型：新授课

内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体

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会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．

教学过程：

一、复习引入：

122 ⑴(ab)2a22abb2C20a2C2abC2b；

12233⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C30a3C3abC3ab2C3b

⑶(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4，

展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4011种，a4的系数是C40；恰有1个取b的情况有C4种，a3b的系数是C4，恰有2个取b的情况有C42种，a2b2的系数是C42，恰有3个取b的情况有C43种，ab3的系数是C43，有4都取b的情况有C44种，b4的系数是C44，

132223344∴(ab)4C40a4C4abC4abC4abC4b．

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二、讲解新课：

0n1nrnrrnn二项式定理：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)

⑴(ab)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 每个都不取b的情况有1种，即Cn0种，an的系数是Cn0；

11恰有1个取b的情况有Cn种，anb的系数是Cn，……，

恰有r个取b的情况有Cnr种，anrbr的系数是Cnr，……，

有n都取b的情况有Cnn种，bn的系数是Cnn，

0n1nrnrrnn∴(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式，⑶它有n1项，各项的系数Cnr(r0,1,n)叫二项式系数，

⑷Cnranrbr叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cnranrbr．

1rr⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1CnxCnxxn

三、讲解范例：

例1．展开(1)4．

1x46411111112313()C4()C4()()41234．

解一：

(1)41C4xxxxxxxxx111413123xCxCxCx1解二：(1)4()4(x1)4()4444

xxx46411234．

xxxx

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例2．（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数；

（2）求(x)9的展开式中x3的系数及二项式系数

1x3解：(12x)7的展开式的第四项是T31C7(2x)3280x3，

∴(12x)7的展开式的第四项的系数是280．

（2）∵(x)9的展开式的通项是Tr1C9rx9r()r(1)rC9rx92r，

∴92r3，r3，

∴x3的系数(1)3C9384，x3的二项式系数C9384．

1x1x12xm14xn展开式中含x2的项的系数为

22222Cn42m22m8n28n，

tCm∵m2n18，

∴m182n，

∴t2(182n)22(182n)8n28n16n2148n612

16(n23715337n)，∴当n时，t取最小值，但nN*，

448∴

n5时，t即x2项的系数最小，最小值为272，此时n5,m8．

四、课堂练习：

1.求2a3b的展开式的第3项. 2.求3b2a的展开式的第3项. 3.写出(3x123x)n的展开式的第r+1项. 66答案：1.

T21C62(2a)62(3b)22160a4b2

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2.

T21C62(3b)62(2a)24860a2b4

n2r1r3r3nrr3.

Tr1Cn(x)(3)Cnx

2x21r五、小结

：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业：

P36 习题1.3A组. 2. 3.4 七、板书设计（略）

八、教学反思：

(a+b)

ｎ =

这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的

，其中Crn（r=0,1,2,……,n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项. 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

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