三 反证法与放缩法ppt配用优秀教学设计

2.3

课时7 反证法与放缩法(黄秀红) 一、教学目标

（一）核心素养

通过对反证法与放缩法的学习，体会数学证明的基本思想及逻辑思路. （二）学习目标

1.通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题. 2.感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式.探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧. （三）学习重点

体会反证法和放缩法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题. （四）学习难点

会用反证法证明简单的命题，体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”. 二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）读一读：阅读教材第26页至第29页，思考：什么是反证法？什么是放缩法？

（2）想一想：使用两种方法证明时的步骤和注意事项有哪些？

2.预习自测

（1）使用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60”时，第一步应假设成立的结论是（

）

A.三角形中的内角都不小于60

B.三角形中的内角都小于60

C.三角形中的内角都不大于60

D.三角形中的内角都大于60

【知识点】反证法

【解题过程】“三角形中至少有一个内角不小于60”时，第一步应假设成立的结论是三角形中的内角都小于60

【思路点拨】“至少有一个”的否定是“一个都没有”

【答案】B （2)在求证“数列2,3,5不可能为等比数列”时最好采用(

) A.分析法

B.综合法

C.反证法

D.直接法

【知识点】反证法

2【解题过程】若是等比数列，则（3）=25即3=10，显然不成立，则原命题成立. 【思路点拨】命题中有“不”等字样的证明常用反证法

【答案】C （3）用反证法证明命题“如果ab，那么3a3b”时，假设的内容是(

) A.3a3b

B.3a3b

C.3a3b且3a3b

【知识点】反证法

【解题过程】应假设3a3b，即

3

D.3a3b或3a3b

a3b或3a3b. 【思路点拨】“大于”的否定是“小于或等于”

【答案】D （4）使用放缩法证明不等式时，要注意不等号的方向，即放大还是缩小，如对于分子分母均取正值的分式，如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值

. 【知识点】放缩法

【解题过程】分子不变，分母缩小（分母仍为正数），分式的值变大

【思路点拨】不等式的性质

【答案】放大

(二)课堂设计

1.知识回顾

（1）证明不等式有比较法、综合法、分析法. （2）综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式. （3）分析法是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中. 2.问题探究

探究一

反证法

●活动①

反证法的定义

前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法.也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立.例如，对于性质（3）“如果ab，那么acbc”，我们可以这

样来证明：

由ab得ab0，于是(ac)(bc)ab0，所以acbc. 但对于性质（6）“如果ab0，那么nanb(nN,n2)”，我们很难从条件和已有事实直接推证出结论.这时可以采用如下方法：

假设nanb不成立，那么必有nanb，或nanb. 如果nanb，那么ab；如果nanb，那么由性质5有ab.这些都与ab0矛盾.于是，nanb成立. 像这样的方法，即先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明. 【设计意图】初步了解反证法. ●活动②

反证法的使用步骤

对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明.使用反证法证明问题时，主要有以下几个步骤：

第一步

分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步

作出与所证不等式相反的假定（反设）；

第三步

从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果（归谬）；

第四步

断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立（结论）. 反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题. 用反证法证明不等式必须把握以下几点：

①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能的情况，反证法都是不完整的；

②反证法必须从否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理论证.否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；

③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知的事实相违背

等.推导出的矛盾必须是明显的；

④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件. 反证法中的数学语言. 反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一些常见的涉及反证法的文字语言及与其相对应的否定假设. 常见词语

至少有一个

至多有一个

有两个或两个以上

唯一一个

没有或有两个及两个以上

是

有或存在

不全

不都是

不是

不可能

全

都是

否定假设

一个也没有

【设计意图】掌握反证法的步骤及注意事项. ●活动③

反证法的应用

例1

设a3b32，求证ab2.

【知识点】反证法

【解题过程】证明：假设ab2，则有a2b，

从而a3812b6b2b3,a3b36b212b86(b1)22.因为6(b1)222，所以a3b32，这与题设条件a3b32矛盾，所以，原不等式ab2成立

【思路点拨】用反证法结合不等式性质

【答案】见解析

同类训练

已知abc0，abbcca0，abc0，求证：a,b,c0. 【知识点】反证法

【解题过程】证明：假设a0，∵abc0，∴bc0.又由abc0,

则bca

> 0，∴abbccaa(bc)bc0与题设矛盾. 又假设若a0，则与abc0矛盾，∴a0.同理可证：b0，c0. 【思路点拨】直接证明较困难，用反证法

【答案】见解析

例2

设二次函数f(x)x2pxq，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于【知识点】反证法

【解题过程】证明：假设f(1),f(2),f(3)都小于另一方面，由绝对值不等式的性质，有

1. 21，则f(1)2f(2)f(3)2.

2f(1)2f(2)f(3)f(1)2f(2)f(3)(1pq)2(42pq)(93pq)2

上两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确. 【思路点拨】直接证明较困难，“少有一个”的问题的证明常用反证法

【答案】见解析

同类训练

设0a,b,c1，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不可能同时大于【知识点】反证法

【解题过程】证明：(1a)b，(1b)c，(1c)a同时大于1，即假设

41. 41111，即

(1a)b,(1b)c,(1c)a,则三式相乘：(1a)b(1b)c(1c)a4446411(1a)a，又∵0a,b,c1，∴0(1a)a

[(1a)a][(1b)b][(1c)c]6424111，(1c)c，以上三式相乘：

[(1a)a][(1b)b][(1c)c]

上两式44641矛盾，∴原式成立，即(1a)b，(1b)c，(1c)a不可能同时大于. 42同理：(1b)b【思路点拨】直接证明较困难，“不可能”的问题的证明常用反证法.注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行. 思考：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况.试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？

【答案】见解析

【设计意图】通过例题的练习，熟悉并掌握反证法证明不等式. 探究二

放缩法

●活动①

放缩法的定义

所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法.这种方法是证明不等式中的常

用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛. 【设计意图】了解放缩法的含义. ●活动②

理解放缩法

放缩法的主要理论依据. ①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；

③同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较；

④基本不等式与绝对值不等式的基本性质；⑤三角函数的有界性等. 使用放缩法的主要方法. 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑.常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等. 对不等式而言，放缩的本质是“不等式的加强”，常见的放缩有下面四种类型：

①直接放缩；②裂项放缩；③利用数列或函数的单调性放缩；④利用基本不等式放缩. 常见的放缩方式有以下几类：

（1）11111111*；(k2,kN)

22kk(k1)kk1kk(k1)k1k1222(k1k)；

k2kk1k（2）1222(kk1)(k2)

k2kkk1(ab)2（3）ab2ab,ab(a0,b0)

4111k1；

123k12222111（5）

nnk2nbbm（6）糖水不等式：(ab0,m0)

aam（4）【设计意图】掌握常见的放缩方式. ●活动③

放缩法的应用

例3

若n是自然数，求证11112.

2222123n

【知识点】放缩法

【数学思想】化归与转化思想

【解题过程】证明：1111,k2,3,4,,n.

k2k(k1)k1k11111111

2222123n11223(n1)n11111111=()()()=22.

11223n1nn【思路点拨】常见放缩1111(k2,kN*)注意：实际上，我们在证明2kk(k1)k1k111111111的过程中，已经得到一个更强的结论，这22122232n2122232n2n恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想. 【答案】见解析

同类训练

若n是自然数，求证【知识点】放缩法

【数学思想】化归与转化思想

11111()(n2)，

22nn12n1n11111111111117左边1+[(1)+()++()]1+(1+)1(1)；

2324n1n122nn12247当n1时，1显然成立

411112223217.

n24【解题过程】证明

因为【思路点拨】将通项放缩成列项求和模型，注意保留第一项从第二项开始放缩

【答案】见解析

1111例4

求证：13.

112123123n【知识点】放缩法

【数学思想】化归与转化思想

【解题过程】

证明：由111k1,（k是大于2的自然数），得

123k12222

1111111112n313.

1123n111n1122222112123123n121【思路点拨】将通项放缩成等比数列模型在求和

【答案】见解析

同类训练

若a,b,cR，求证：1【知识点】放缩法

【数学思想】化归与转化思想

abcd

∵a,b,cR

abdbcacdbdacabcd∴m1

abcdabcacdabdabcabcdm2，∴1m2，即原式成立. ababcddcabcd2. abdbcacdbdac【解题过程】证明：记m =【思路点拨】将分母放缩成相同才能化简

【答案】见解析

【设计意图】通过对例题的学习，进一步理解放缩法. 3.课堂总结

知识梳理

（1）利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步

分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步

作出与所证不等式相反的假定；

第三步

从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步

断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. （2）常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，

（Ⅰ）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大；

（Ⅱ）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小. 重难点归纳

（1）体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题. （2）体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”. （三）课后作业

基础型

自主突破

1.实数a,b,c不全为0的等价命题为(

) A.a,b,c均不为0

B.a,b,c中至多有一个为0 C.a,b,c中至少有一个为0

D.a,b,c中至少有一个不为0 【知识点】命题的等价性

【解题过程】实数a,b,c不全为0就是a,b,c中至少有一个不为0 【思路点拨】“不全”就是“至少一个”

【答案】D 2.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a,b,c中至少有一个偶数，下列假设中正确的是(

) A.假设a,b,c都是偶数

B.假设a,b,c都不是偶数

C.假设a,b,c至多有一个偶数

D.假设a,b,c至多有两个偶数

【知识点】反证法

【解题过程】假设a,b,c都不是偶数

【思路点拨】“至少有一个是”的否定是“一个也不是”

【答案】B 3.设x,y,z都是正实数，ax111，by，cz，则a,b,c三个数(

) zxyA.至少有一个不大于2

B.都小于2 C.至少有一个不小于2

D.都大于2 【知识点】反证法

111【解题过程】因为abc(x)(y)(z)22+2=6，当且仅当xyz1时等号xyz成立，所以a,b,c三者中至少有一个不小于2. 【思路点拨】基本不等式模型

【答案】C

4.若不等式x22axa0对一切实数xR恒成立，则关于t的一元二次不等式at22t30的解集为(

) A.(3,1)

B.(,3)(1,)

C.

D.(0,1)

【知识点】恒成立问题；解不等式

【解题过程】不等式x22axa0对一切实数xR恒成立，则4a24a0，即a1或a0（舍去），所以不等式at22t30转化t22t30，解得t3或t1. 【思路点拨】一元二次不等式在xR上恒成立只用考虑开口和Δ. 【答案】B 5.某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)f(1)，如果对于不同的x1,x2[0,1]，都有|f(x1)f(x2)||x1x2|，求证：|f(x1)f(x2)|应该是

. 【知识点】反证法

【解题过程】假设|f(x1)f(x2)|1

21，那么它的假设2【思路点拨】小于的否定是大于或等于

【答案】假设|f(x1)f(x2)|1

26．lg9lg11与1的大小关系是________. 【知识点】放缩法

【数学思想】化归与转化思想

【解题过程】因为lg9lg11(lg9lg112lg992)()1，所以lg9lg111

22【思路点拨】同底对数相加才可用性质化简，和积结构转化用基本不等式

【答案】lg9lg111

能力型

师生共研

7.设a,b,c均为正数，Pabc,Qbca,Rcab，则“PQR0”是“P,Q,R同时大于零”的________条件. 【知识点】充分必要条件；反证法

【解题过程】必要性是显然成立的；当PQR0时，若P,Q,R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P0,Q0,R0，则QR2c0，这与c0矛盾，即充分性也成立. 【思路点拨】直接做较困难，用反证法

【答案】充要

9.若a0,b0满足abab1

，那么(

) A.ab有最小值222

B.ab有最大值222

C.ab有最大值21

D.ab有最小值222

【知识点】放缩法；基本不等式

【数学思想】化归与转化思想

2(ab)2【解题过程】ab1ab，所以(ab)4(ab)40，

4abab1解得ab222（舍去）或ab222，当且仅当，即ab12时取ab等号. 【思路点拨】用基本不等式实现和积结构转换

【答案】A 探究型

多维突破

9.设x,y,z,t满足1xyzt100，则xz的最小值为________. yt【知识点】放缩法；不等式的基本性质；基本不等式

【解题过程】因为x11xz1z1z1zz，所以，且2，

t100yyzytz100z1005当且仅当x1,yz10,t100时，等号成立. 【思路点拨】通过放缩消元求最值

1【答案】

510.设a0,b0，且ab11.证明：

ab(1)ab2；(2)a2a2与b2b2不可能同时成立.

【知识点】反证法

【解题过程】证明：由ab11ab，a0,b0，得ab1. abab(1)由基本不等式及ab1，有ab2ab2，即ab2. (2)假设a2a2与b2b2不可能同时成立，则由a2a2及a0得0a1；同理，0a1，从而ab1，这与ab1矛盾.故a2a2与b2b2不可能同时成立. 【思路点拨】基本不等式化简

【答案】见解析

自助餐

11.设M111101010221221，则(

) 1121A.M1

B.M1

C.M1

D.M与1大小关系不定

【知识点】放缩法

111【解题过程】M10101022122【思路点拨】放缩成相同分母化简可证

【答案】B 12.A1111111101010212221211210101

102211231与n(nN*)的大小关系为

. n【知识点】放缩法

【解题过程】nN*，当n1时，An1；

当n2时，A111231111n21321nn1

12132【思路点拨】常见放缩【答案】An. nn1n.综上可知，An. 1k1kk1kk1(k2)

13.用反证法证明命题：“已知a,b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是(

) A.方程x2axb0没有实根.

B.方程x2axb0至多有一个实根.

C.方程x2axb0至多有两个实根

D.方程x2axb0恰好有两个实根. 【知识点】反证法

【解题过程】假设方程x2axb0没有实根

【思路点拨】本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0，1，2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根. 【答案】A 14.已知x,y0，且xy2.求证：【知识点】反证法

【解题过程】证明：假设1x1y中至少有一个小于2. ,yx1x1y2,2，则1x2y,1y2x

yx两式相加，得xy22(xy)，即xy2，与题设矛盾. 所以1x1y中至少有一个小于2. ,yx【思路点拨】“至少有一个”问题的证明用反证法

【答案】见解析

15.若数列{xn}的通项公式为xn【知识点】放缩法

【数学思想】化归与转化思想

n1xn1n1【解题过程】证明：∵，

=n1xn2n11n11n，求证：x1x3x5n1x2n11xn. 1xnx1x3x513x2n124x2n12n1132n352n11. 2n12n1所以x1x3x51xn. 1xn【思路点拨】

132n1211332n12n112342n12n132n1()242n22442n2n23452n2n1352n1

【答案】见解析

16.数列{an}的通项公式an4n(n1). 求证：对一切正整数n，有111a11a21a3112. an17【知识点】放缩法；分析法

【数学思想】化归与转化思想

111【解题过程】证明：所证明的不等式为7234712. 24n4n17首先证明只要证1211()(n2). 24n4n17nn112222，只要证，只要证7n7n8n8n2nn20，

224n4n17n7n1211()(n2). 24n4n17nn1只要证(n2)(n1)0，当n2时，此式显然成立，所以∴当n2时，

111723471121111(4n24n177233411212). nn177(n1)7【思路点拨】放缩成列项求和模型

【答案】见解析