正弦、余弦、正切函数的简单应用课时教案

28.2.2

应用举例

第1课时

解直角三角形的简单应用

1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用；(重点) 2．能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解．(难点)

一、情境导入

为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具．图①所示的是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm.点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.

你能求出车架档AD的长吗？

二、合作探究

探究点：解直角三角形的简单应用

【类型一】

求河的宽度

根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的长(精确到0.1米)．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.

解析：设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB＝4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．

AB解：设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝，∴AB＝AC·tan∠ACABBCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋AD41041082)＝4x，解得x＝.∴AB＝4x＝4×≈546.7m. 33答：AB的长约为546.7m.

方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”

第3题

【类型二】

求不可到达的两点的高度

如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少(结果精确到0.1cm，参考数据：3≈1.732)?

解析：首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案．

解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，∴四边形BFDG是矩形，∴1BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×＝10cm.在Rt△ABG中，2∵∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30×3＝153cm，∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋1532＋2＝12＋153≈38.0(cm)．

答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm. 方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

【类型三】

方案设计类问题

小锋家有一块四边形形状的空地(如图③，四边形ABCD)，其中AD∥BC，BC＝1.6m，AD＝5.5m，CD＝5.2m，∠C＝90°，∠A＝53°.小锋的爸爸想买一辆长4.9m，宽1.9m的汽车停放在这块空地上，让小锋算算是否可行．小锋设计了两种方案，如图①和图②所示．

(1)请你通过计算说明小锋的两种设计方案是否合理；

(2)请你利用图③再设计一种有别于小锋的可行性方案，并说明理由(参考数据：sin53°4＝0.8，cos53°＝0.6，tan53°＝)．

3

解析：(1)方案1，如图①所示，在Rt△AGE中，依据正切函数求得AG的长，进而求得DG的长，然后与汽车的宽度比较即可；方案2，如图②所示，在Rt△ALH中，依据正切函数求得AL的长，进而求得DL的长，然后与汽车的长度比较即可；(2)让汽车平行于AB

停放，如图③，在Rt△AMN中，依据正弦函数求得AM的长，进而求得DM的长．在Rt△PDM中，依据余弦函数求得PM的长，然后与汽车的长度比较即可．

解：(1)如图①，在Rt△AGE中，∵∠A＝53°，∴AG＝EG4.9＝m≈3.68m，∴DGtan∠A43＝AD－AG＝5.5－3.68＝1.82m＜1.9m，故此方案不合理；如图②，在Rt△ALH中，∵∠A＝53°，LH＝1.9m，∴AL＝LH1.9＝≈1.43m，∴DL＝AD－AL＝5.5－1.43＝4.07m＜tan53°434.9m，故此方案不合理；

(2)如图③，过DA上一点M作MN⊥AB于点N，过CD上一点P作PQ⊥AB于点Q，MN1.9连PM，在Rt△AMN中，∵∠A＝53°，MN＝1.9m，∴AM＝＝≈2.4，∴DM＝5.5sin53°0.8DM3.1－2.4＝3.1m.在Rt△PDM中，∵∠PMD＝∠A＝53°，DM＝3.1m，∴PM＝＝≈cos53°0.65.1m＞4.9m，故此方案合理．

方法总结：本题主要是利用三角函数解决实际问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形的问题，利用三角函数解决问题．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1．求河宽和物体的高度；

2．其他应用类问题．

本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际问题.