复习题28优质课教案内容

第28章《锐角三角函数》复习

长沙市一中雨花新华都学校 蒋四凤

教学目标：

知识与技能

（1）

理解锐角三角函数的定义，并熟练记忆特殊角的三角函数值. （2）

会用锐角三角函数解决实际问题. 过程与方法

运用数形结合、化归与转化、分类讨论、函数与方程及数学建模等思想方法解决问题，提升思维品质，开成数学素养. 情感态度与价值观

在整理知识点的过程中，以人为本，正视学生的学习能力、认知水平等等个体差异，发展学生的独立思考习惯，使之感受成功，并找到解决锐角三角函数问题的一般方法. 教学重点：

锐角三角函数的定义，记忆特殊角的三角函数值. 教学难点：

(1)应用解直角三角形的知识解决实际问题. (2)能够具有合情推理和初步具有演绎推理能力. 教学过程：

一、知识结构

1

二、

解直角三角形的基本类型

解直角三角形的基本类型及其解法如下表：

类型

两边

一边一锐角

已知条件

两直角边a、b 解法

c=a2b2，tanA=a，∠B=90°-∠A b一直角边a，斜边c b=c2a2，sinA=a，∠B=90°-∠A c一直角边a，锐角A ∠B=90°-∠A，ba，c=a

sinAtanA斜边c，锐角A ∠B=90°-∠A，a=c·sinA，b=c·cosA 三、

解直角三角形注意点

1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．

2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，•但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题．

3．一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题．

4．解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切），宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据．

5．必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，•然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算．

6．要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中．

7．解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、•周长、面积等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解．

四、应用题解题步骤

2

度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：

第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、等概念．

第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）．

第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错．

第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位．

五、

思想方法总结

1．转化思想

转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．

2．数形结合思想

本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决．

3．函数思想

锐角的正弦、余弦、正切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角任意确定的一个度数，sin都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sin在0sin1之间任意确定的一个值，锐角都有惟一确定的一个度数与之对应．

4．方程思想

在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素．

3

cos245tan60cos30的值是___________. 3.计算 2124.在锐角 ABC中，若 C的度数是_______. cosAtanB30，则4tanAtanB5.在 ABC中， ABC的面积为6，斜边长为6，则 C90，的值为_________. 1C150,AC4,tanB6.如图，在 . ABC中，8（1）求BC的长； （2）利用此图形求 tan15的值.（结果保留根号）

4

考点二、解直角三角形的应用

7.如图，一名滑雪运动员沿着坡角为 从A点滑行至B点.已知AB=50034的斜坡，米，则这名滑雪运动员的高度下降了______米 sin340.56,cos340.83,tan340.67）

（参考数据： 8.一艘轮船位于灯塔P南偏西 45方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西 60方向上的B处.若轮船了继续沿正东方向航行，求轮船行途中与灯塔P的最短距离（结果保留根号）.  （第7题图） （第8题图）

5

巩固练习

1.如图，在 点D为边AC的中点， ABC中，BAC90,ABAC，DEBC于tanDBC的值为（ ） 点E，连续BD，则 112123 A. B. C. D. 43AOB2.如图，将 放在边长为1的小正方形组成的网格中，

则 _cosAOB

第1题图

第2题图

第3题图

3.为了测量一个圆形铁环的半径（如图），某同学采用了如下办法：•将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若测得PA=5cm，则铁环的半径是______cm．

4. 北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作.如图28-J-8，某探测队在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4 m，求该生命迹象所在位置C的深度.（结果精确到1m.参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，3≈1.7）

第4题图 第5题图

5.如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=45°,小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），•请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47•°≈0.6820，tan47°≈1.0724）

6

课时作业设计

本章单元测试．

一、选择题．

11．在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（ ）．

311 A．45 B．5 C． D．

54532．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若cotA=，则cosA等于（ ）．

44343 A． B． C． D．

55343．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米的C处（AC⊥AB）测得∠ACB=50°，则A、B之间的距离应为（ ）．

A．15sin50°米 B．15cos50°米； C．15tan50°米 D．15cot50°米

AaC B

(第3题) (第6题) (第7题) 4．如果sin2a+sin230°=1，那么锐角a的度数是（ ）．

A．15° B．30° C．45° D．60°

5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=2，则cosB的值为（ ）．

2 A．

123 B． C．

D．1 2226．如图，为了测量河两岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，•测得AC=a，∠ACB=a，那么AB等于（ ）．

A．a·sina B．a·cosa C．a·tana D．a·cota 7．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足．若AC=4，BC=3，则sin∠ACD的值为（ ）．

A．4343 B． C． D．

34558．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是（ ）．

7

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 9．在△ABC中，sinB=cos（90°-C）=1，那么△ABC是（ ）．

2 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，BC=5，则下列各式中正确的是（ ）．

A．sinA=12121212 B．cosA= C．tanA= D．cotA=

51351311．如图，为测楼房BC的高，在距离房30米的A处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC•的高为（ ）．

A．30tanα米 B．30tan30C.30sin米CDD.30米

sin AB

(第11题) (第12题) 12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若

1tan∠DBA=，则AD的长为（ ）．

5 A．2 B．2 C．1 D．22

二、填空题．

13．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′P′B′，且BP=2，•那么PP′的长为________．

（不取近似值，以下数据供解题使用：sin15°=6262）

,cos1544

(第13题) (第14题) (第21题) 14．如图，沿倾斜角为33°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为________m．（精确到0.01m）

8

15．sin30°=________．

16．用计算器计算：35sin40°=________．（精确到0.01）

17．若圆周角所对弦长为sin，则此圆的半径r为_______．

18．锐角A满足2sin（A-15°）=3，则∠A=________．

19．计算：3tan30°+cot45°-2tan45°-2cos60°=_________．

120．已知A是锐角，且sinA=，则cos（90°-A）=________．

321．为了测量一个圆形铁环的半径（如图），某同学采用了如下办法：•将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若测得PA=5cm，则铁环的半径是______cm．

三、计算题．

22．计算：12-2sin60°-（5+2）．

23．计算：cos60°+

24．计算：（1）sin30°+cos45°+tan60°-cot30°．

（2）sin2634cos60sin631cos27

25．若方程2x2+（4sinθ）x+1=0（0<θ<90°）有两个相等的实数根，求θ的值．

9

2-8-2-1．

2cot303tan30

sin30cos45

四、解答题．

26．如图，为申办2010年冬奥会，需改变哈尔滨市的交通状况．在大道拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形区域为危险区，现在某工人站在离B点3米处的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B•点的俯角为30°，问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？（3取1.73）

27．我边防战士在海拔高度（即CD的长）为50米的小岛顶部D处执行任务，上午8时发现在海面上的A处有一艘船，此时测得该船的俯角为30°，该船沿着AC•方向航行一段时间后到达B处，又测得该船的俯角为45°，求该船在这一段时间内的航程．（•计算结果保留根号）

28．如图，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成58°，•求拉线下端点A与杆底D的距离AD．（精确到0.01米）

10

答案：

一、选择题：

1．B 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．A 10．B 11．A 12．B

二、填空题：

13．6-2 14．2.38 15．120． 21．53

311 16．1.10 17． 18．75° 19．3-2 22三、计算题：

22．解：12-2sin60°-（5+2）0=23-3-1=3-1．

23．解：原式=11+2-22-=-2．

2224．（1）12 （2）1 225．θ=45°．

四、解答题：

26．过点C作CE⊥AB于E，Rt△CBE中，tan30°=∴BE=CE·tan30°=3．

Rt△CAE中，tan60°=AE，

∴AE=CE·tan60°=33．

ECBE，

CE∴AB=AE+BE=43≈4×1.73=6.92<8． ∴保护物不在危险区．

27．解：根据题意，∠ADC=60°，∠BDC=∠DBC=45°，

∴BC=DC=50．

在Rt△ADC中，AC=CD×tan∠ADC=503． AB=AC-BC=50（3-1）（米）．

答：该船在这段时间内的航程为50（3-1）米．

28．解：在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=58°，CD=5米．

∵tan∠CAD=CDCD5，

∴AD=≈3.12（米）．

ADtanCADtan58 答：拉线下端点A与杆底D的距离AD约为3.12米．

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