3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计方案

3.2.2复数代数形式的乘除运算

米脂中学 张艳

教学目标：

知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教学过程

一、情景引入，激发兴趣数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0。随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展，扩充到了复数复数范围，前面学习了复数的加减运算，本节课探究复数代数形式的乘除运算。

二、探究新知，揭示概念

１．乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律：

(1)交换律：z1z2=z2z1 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). 2

∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，

z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)结合律：(z1z2)z3=z1 (z2z3 )证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i) =［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i

=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，

同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，

∴(z1z2)z3=z1(z2z3). (3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. WWW.ziyuanku.comz1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i

=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i

∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 3.共轭复数：当两个复的实部相数等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数z= a+bi的共轭复数为z= a-bi. 4. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者5.除法运算规则：

设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，

abi

cdi

利用(c+di)(c－di)=c+d.于是将22abi的分母有理化得：

cdi原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

cdi(cdi)(cdi)c2d2(acbd)(bcad)iacbdbcad2i. c2d2cd2c2d2∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2i. 222cdcd点评：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的3222的对偶式32，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c+d是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

三、知识应用，深化理解

类型一

复数代数形式的乘法运算

例1计算（1）(3+4i) (3-4i) ；（2）（1+ i)

；

（3）(1-2i)(3+4i)(-2+i). 解：（1）(3+4i) (3-4i) =3-（4i）=9-(-16)=25; （2）（1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i. (3) (1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. com2222213(2)已知复数z1i1i,复数z2虚部是2，且z1z2是实数，求z2.

22解：z113i1i2i,

22设z2a2i,

则z1z22ia2i2a24ai.

z1z2是实数，4-a0,即a4,

z242i.

总结：1.两个复数代数形式乘法的一般方法：首先按多项式的乘法展开；再将i换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式. 2.常用公式

2

(1)(abi)2a22abib2(a,bR)

(2) (abi)(abi)a2b2(a,bR) (3) (1i)22i

类型二

复数代数形式的除法运算

例2 (1)已知i是虚数单位，则复数z＝

( D ) A.0

B.i

C.－i

D.1 解：z43i43i34i25ii,

34i34i34i2543i

的虚部是34iz的虚部是1.

（2）已知复数z满足（13i)z1i,则z

11i13i解：（13i)z1i，z13i11i13i1313i.

43iz21131342222.

42总结 1.两个复数代数形式的除法运算步骤：

(1)首先将除式写为分式；

(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；

(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. 2.常用公式

11i,21ii.31ii.

i1i1i类型三

共轭复数

例3复数z共轭复数记作z,已知12iz343i,则z

43i43ii12iz343i,z3,z35i,解：

12i12iz5i.四、归纳小结

1.复数代数形式的乘除运算

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律. (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题. 3.复数问题实数化思想. 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化. 五、反馈练习 课本第111页练习

六、布置作业

课本第112页 习题3.2 4 ,5 七、教学反思

本节知识比较简单，但扩展有一定的难度，关键是要让学生熟练掌握复数代数形式乘除运算的法则，通过多做题，掌握做题技巧