1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用板书设计及设计说明

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1.2

独立性检验的基本思想及其初步应用

教材分析：

本节课是人教A版（选修）1—2第一章第二单元第二课时的内容．在本课之前，学生已经学习过反证法和回归分析的基本思想及初步应用。本节课利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，是高中数学知识中体现统计思想的重要课节。

在本节课的教学中，要把重点放在独立性检验的统计学原理上，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤。在独立性检验中，通过典型案例的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和初步应用。独立性检验的基本思想和反证法类似，它们都是假设结论不成立，反证法是在假设结论不成立基础上推出矛盾从而证得结论成立，而独立性检验是在假设结论不成立基础上推出有利于结论成立的小概率事件发生，于是认为结论在很大程度上是成立的。因为小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以有利于结论成立的小概率事件的发生为否定假设提供了有力的证据。

学习独立性检验的目的是“通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用”。这是因为，随着现代信息技术飞速发展，信息传播速度快，人们每天都会接触到影响我们生活的统计方面信息，所以具备一些统计知识已经成为现代人应具备的一种数学素养。

学情分析：

学生在学习过事件的相互独立性、正态分布及回归分析的基本思想及初步应用。本节课利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，是高中数学知识中体现统计思想的重要课节。

一、教学内容与教学对象分析

通过典型案例，学习下列一些常用的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。

①

通过对典型案例（如“患肺癌与吸烟有关吗”等）的探究。了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。

②

通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，了解回归的基本思想、

方法及其初步应用。

二. 教学目标

1、知识与技能

通过本节知识的学习，了解独立性检验的基本思想和初步应用，能对两个分类变量是否有关做出明确的判断。明确对两个分类变量的独立性检验的基本思想具体步骤，会对具体问题作出独立性检验。

2、过程与方法

在本节知识的学习中，应使学生从具体问题中认识进行独立性检验的作用及必要性，树立学好本节知识的信心，在此基础上学习三维柱形图和二维柱形图，并认识它们的基本作用和存在的不足，从而为学习下面作好铺垫，进而介绍K的平方的计算公式和K的平方的观测值R的求法，以及它们的实际意义。从中得出判断“X与Y有关系”的一般步骤及利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并能较准确地给出这种判断的可靠程度的具体做法和可信程度的大小。最后介绍了独立性检验思想的综合运用。

3、情感、态度与价值观

通过本节知识的学习，首先让学生了解对两个分类博变量进行独立性检验的必要性和作第

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用，并引导学生注意比较与观测值之间的联系与区别，从而引导学生去探索新知识，培养学生全面的观点和辨证地分析问题，不为假想所迷惑，寻求问题的内在联系，培养学生学习数学、应用数学的良好的数学品质。加强与现实生活相联系，从对实际问题的分析中学会利用图形分析、解决问题及用具体的数量来衡量两个变量之间的联系，学习用图形、数据来正确描述两个变量的关系。明确数学在现实生活中的重要作用和实际价值。教学中，应多给学生提供自主学习、独立探究、合作交流的机会。养成严谨的学习态度及实事求是的分析问题、解决问题的科学世界观，并会用所学到的知识来解决实际问题。

三．教学重点、难点

教学重点：理解独立性检验的基本思想；独立性检验的步骤。

教学难点；1、理解独立性检验的基本思想；

2、了解随机变量K2的含义；

3、独立性检验的步骤。

四、教学策略

教学方法：诱思探究教学法

学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。

教学手段：多媒体辅助教学

教学过程：

一、引入课题：

两个变量：

定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。

变量分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、

 宗教信仰、国籍等等。

研究两个变量的相关关系：

对于性别变量，其取值为男和女两种．这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．在现实生活中，分类变量是大量存在的，例如是否吸烟，宗教信仰，国籍，等等．在日常生活中，我们常常关心两个分类变量之间是否有关系．例如，吸烟与患肺癌是否有关系？性别对于是否喜欢数学课程有影响？等等．

定量变量——回归分析（画散点图、相关系数r、变量 相关指数R2、残差分析）分类变量——二：问题提出：

为调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）

表3-7 吸烟与肺癌列联表

不吸烟

吸烟

不患肺癌

患肺癌

7775 2099 42 49 总计

7817 2148 第

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总计

9874 91 9965 思考1：

根据上面的表格，能否断定吸烟对患肺癌有影响？判断的依据是什么？

吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性大小是否存在差异？

知识探究一：（两个分类变量的研究方法）

方法一：用频率估计概率（计算每个单元格的百分比）

不患肺癌

患肺癌

0.54％

2.28％

总计

100％

100％

不吸烟

99.46％

吸烟

97.72％

在不吸烟的样本中，患肺癌的比例是______%；

在吸烟的样本中，患肺癌的比例是______% 由此，可以根据统计分析的思想，用频率估计概率可知：

吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在（

），（ ）患肺癌的可能性大。

方法二：用等高条形图直观判断

由上述等高条形可以得到结论是：吸烟与患肺癌（ ）。

思考2：

这种判断可靠吗？

你能有多大的把握认为“

患肺癌与吸烟有关”呢？

1、把上表中数字用字母代替，得到如下用字母表示的吸烟与肺癌列联表：

不患肺癌

患肺癌

总计

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不吸烟

吸烟

总计

a c a+c b d b+d a+b c+d a+b+c+d 2、首先假设结论“

患肺癌与吸烟有关”不成立，即记 H0：患肺癌与吸烟没有关系

用A表示不吸烟 ， 用B表示不患肺癌，则“患肺癌与吸烟没有关系”等价于“吸烟与患肺癌相互独立”，即假设H0等价于P（AB）=P（A）P（B）

P（A）= ，P（B）= ，P（AB）= 则， 即:adbc越小，说明吸烟与患肺癌之间的关系______，

越大，说明吸烟与患肺癌之间的关系______。 adbc方法三：独立性检验

为了使不同样本变量的数据有统一的评测标准，构造一个随机变量K，

K2= 2 ___________________________________________________

其中n_______________为样本容量. 分析：K越小，2adbc越小，说明吸烟与患肺癌之间的关系

越

弱，

K2越大，adbc越大，说明吸烟与患肺癌之间的关系

越

强。 故，当K

很

小时，说明在一定可信度上假设H0成立，即“吸烟与患肺癌2没有关系”成立；

当K

很

大时，说明没有充分证据说明假设H0成立，即没有充分证据说明2“吸烟与患肺癌没有关系”成立；即“吸烟与患肺癌有关系”成立。

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思考：K大小的标准是什么？临界值K0

2临界值表

可信度

％

％

0.40 ％

0.25 ％

0.15 99％

0.10 95％

0.05 97.5％

0.025 5.024 299％

0.010 6.635 99.5％

0.005 7.879 99.9％

0.001 10.828 P(K2k0)

0.50 k0

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 根据表3一7中的数据，利用公式（1）计算得到

K

的观测值为

9965777549422099k56.632>10.828 781721489874912P(K10.828)0.001

而，2在犯错误的概率不会超过0.001的前提下（有99.9％的把握认为），“吸烟与患肺癌有关系”。

（注：这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.001，是一个小概率事件，有99.9％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。）

思考：

在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是

（ ）

A. 若k=6.635,则有99%的把握认为吸烟与患肺病有关，那么100名吸烟者中，有99个患肺病. B. 从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时,可以说某人吸烟,那么他有99%的可能性患肺病. C. 若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使推断出现错误. D. 以上三种说法都不对.

独立性检验：利用随机变量K2来确定有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验．

知识探究（二）独立性检验的基本思想与反证法的思想的异同点

反证法

独立性检验

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证明结论成立

目标

结果只有一种情况：

结论成立

构造

H0：结论成立

两种

H1：结论的反面成立

情况

判断“分类变量X与Y是否有关”

结果有两种可能：有关或者无关

H0：X与Y之间有关

H1：X与Y之间无关

理论

矛盾双方不肯能同时成立，但在一次试验中，小概率事件（观测值k> 临界依据

有且只有一个成立

值k0)几乎是不可能发生的

1、分析数据，得出2×2列联表；

1、假设H0的反面H1成立

操作

2、推出矛盾，从而H1不成立

3、通过观测值k与临界值k0的比较；

步骤

3、得出结论，H0成立

4、在犯错误的概率不超过α的前提下，推断“X与Y有关系”．

2、计算K的观测值k；

2理论迁移

例1、在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶，而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系。能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为秃顶与患心脏病有关系？

解：根据题目所给数据得到如下列联表：

在秃顶样本中患心脏病的频率为_______________,在不秃顶样本中患心脏病的频率为_____________,相应的等高条形图如图所示：

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从条形图中可以判断：假设“秃顶与患心脏病没有关系”

2计算K

说明了：

总结：解决一般的独立性检验问题的步骤：

2．如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到K2≈3.852＞3.841，所以判断性别与运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过(

)

A．2.5%

B．0.5% C．1%

D．5% 课后作业:

x1 x2 总计

y1 a

c

a＋c

y2 b

d

b＋d

总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

1、．假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：

对同一样本，以下数据能说明X与Y有关的可能性最大的一组为(

) A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2

B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2 C．a＝2，b＝2，c＝4，d＝5

D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5

2、(2011·湖南高考)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

爱好

男

40 女

20 总计

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不爱好

总计

20 60 30 50 50 110 2110×40×30－20×20K2＝≈7.8. 60×50×60×50参照附表，得到的正确结论是(

) A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

本课小结：

1．知识梳理

2．规律小结

（2）独立性检验的基本思想

（3）独立性检验的一般方法

课后反思：

本节内容对独立性检验的探讨过程学生基本没什么困难，还有学生提出了新的探讨路径和思想，学生思维活泼！对独立性检验的作用，本节课也作了系统总结比较。

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