信息技术应用 估计√2的值教案和课堂实录

第一届全市中小学青年教师教学竞赛教学片段

设计表

单位 湘潭市三中

组别 高中组 科目 数学 教学片段标题：

等差数列

学情分析：素材引导学生观察问题，启发学生思考问题．教材重视从通过鞋号、温度等具体实例引入等差数列，注意将其应用到实际中去，引导学生在解决实际问题过程中提高分析问题和解决问题的能力．．

教学目标：

【知识目标】从实际情境中抽象出等差数列的定义，探索等差数列的通项公式

【能力目标】培养学生观察问题、思考问题、提高分析问题和解决问题的能力

【德育目标】体会特殊到一般的思想，感受数学思想和数学文化的深刻内涵（数学建模、数据分析、数学抽象）

教学重难点：

【重点】等差数列的概念和等差数列的通项公式

【难点】等差数列的通项公式的探索，会用观察归纳法，迭代法，累加法证明通项公式，体会数学发现，再创造的历程

教学过程：

Ⅰ．定义

（1）创设情境——引入概念：

情景1：李宁牌女运动鞋的码依次拿出来形成数列：

220

225

23

235

240

245

250

255

260 情景2：生活感受山上会变冷，提供某座山高度与温度的关系表，其中温度拿出来形成一个数列：

28

21.5

15

8.5

2

-4.5

-11

-17.5

-24

（2）观察归纳——形成概念：

观察生活情景中提出的两个数列：

1、

220

225

230

235

240

245

250

255

260 2、

28

21.5

15

8.5

2

-4.5

-11

-17.5

-24 （设计意图：通过具体数列体会“等差”特征，激发学生的探究欲望，使学生主动学习）

问题一：这两个数列, 项与项之间的关系是什么? 对于一般数列a1,a2,a3,,an,项与项如果满足下列条件

a2a1a3a2a4a3anan1n2

(让学生对这个数列取名)，并引出课题. 问题二:能用文字语言准确的描述这些数列的共同特征？

定义：1、（文字语言）:一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．

2、（数学符号语言：）

．

anan1d（d为常数，nN*且n2）（3）变式训练——巩固概念：

练习：判断下列数列是否是等差数列？若是，则公差是多少？若不是，请说明理由.

①

0,2,4,6,8, ②

7,4,1,-2 ③

2,2,2,2, ④

15,12,8,4,0 ⑤

0,1,0,1,0,1

（设计意图：明确用定义判断数列是否是等差数列，特别指出“每一项”，“后一项减前一项”.引导学生发现公差d对数列的影响，从单调性来看：当d0时，数列是递增数列，当d0时，数列是递减数列，当d0时，数列是常数列．通过变式训练，巩固概念．注意对数列概念严谨性的分析）

Ⅱ．通项公式

（1）讨论研究——通项探究：

问题1：如何求数列7,4,1，-2，┄的第10项？ 第100项？

（第10项可以利用等差数列的定义一一列举出来，类比函数表示中的数列表格法，函数表示还有解析法和图像法，解析法即数列的通项公式，是数列的灵魂，如果有了通项公式，很多问题就容易解决了，并把问题推广到一般情况）．[来源:Z.xx

（设计意图：通过学生自己亲自尝试，进一步理解定义及通项公式.通过自己推导，增强学好数学的信心）

问题2：已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，a2,a3,a4是多少？an又是多少（用首项a1及公差d表示）？

方法1：

n2时，a2a1d

n3时，a3a2da12d

n4时，a4a3da13d

…

anan1da1(n1)d

n1时，也成立． （归纳，猜想．培养学生的合情推理的能力）

方法2：anan1d

an2ddan22d

an3d2dan33d

an4d3dan44d

a1n1d

方法3：a2a1d

a3a2d

a4a3d

a5a4d

…

anan1d

用叠加，得ana1(n1)d，n1时，也成立．

整理，得：ana1(n1)d

nN

在学生讨论探索的基础上，点评小结：

方法1的通项公式是由a2,a3,a4……归纳得到的，归纳得出的公式对a1是否成立需要补充说明． 这种由前几项归纳得出一般的通项公式的方法（由特殊到一般），我们称为不完全归纳法，其结果不一定正确，还需证明的，这里证明省略．观察归纳法，也是我们今后已知数列的递推式求通项公式的常用方法．

方法2是迭代法. 方法3叫累加法．

说明：等差数列的通项公式：ana1(n1)d（nN*）

①

明确a1,d是等差数列的基本量，已知一个等差数列的首项和公差，可以确定这个数列中的任何一项. ②

公式中一共有a1,an,n,d四个量，其中a1与d是基本量，只要知道其中的任意三个量的值，就可以利用方程思想求出第四个量的值，即知三求一．

(2)巩固深化—简单应用：

例题：（1）求等差数列7,4,1，-2，...中的第10项；第100项

（2）判断-140是不是该数列的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由. （设计意图：讲练结合，有利于学生掌握知识，并提高学生的知识应用水平）

练习：等差数列an中，a612，a1836，求an．

（3）理论提升

练习：已知数列an的通项公式是

anpnq

（p,q为常数），那么这个数列为等差数列吗？

（设计意图：

学生自己小结，培养学生的口头表达能力，归纳概括能力，同时使学生的知识更完整、更系统）

III.总结反思

1、用三种数学语言表述等差数列的概念；(一个定义，二个公式）

2、首项是a1，公差是d的等差数列的通项公式为ana1(n1)d（nN*），在这a1,an,n,d四个量中可知三求一，体现方程思想；（一个思想）

课堂评价：数列在高考中地位很重，是常考的热点。因此本节课既注重数学知识的形成过程，又重视学生运算方面的能力培养。

第一届全市中小学青年教师教学竞赛教学片段

设计表

单位 湘潭市三中

组别 高中组 科目 数学 教学片段标题：

等差数列的性质

学情分析：学生对等差数列的定义已经理解得比较好，而且能够比较熟练的根据条件求出等差数列的通项公式，初步具有函数思想和方程思想，也具备一些特殊与一般的辩证唯物主义观点，这次课就是进一步加强这方面的能力训练。

教学目标：

【知识目标】通过通项公式认识等差数列的性质，明确等差中项的概念，利用性解决某些问题

【能力目标】通过等差数列性质的运用，培养学生的方程思想和函数思想

【德育目标】通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的

内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点

教学重难点：

【重点】等差数列性质的理解与应用

【难点】灵活应用等差数列性质解决问题

教学过程：

（一）等差数列通项公式的复习

练习

1：设等差数列{an}的公差为d，则a5－a2= ，由此可知an－am＝

结论 3d an－am＝(n－m)d （设计意图：通过习题，加强等差数列的定义和通项公式，为等差数列的性质埋下伏笔）

200多年前，德国著名数学家Gauss（高斯）10岁读小学时，老师出了一道数学题：123100?据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，高斯经过思考后很快得出其结果是5050，成为千古美谈。

1，2，3，……，98，99，100是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列，高斯的算法的诀窍是：

a1+a100 = a2+a99 =a3+a98 =…=a50+a51

对于一般的等差数列，我们寻求项与项之间的关系

（设计意图：激发学生的求知兴趣）

（二）：等差数列通项公式的拓展

5

思考1：一般地，在等差数列{an}中，a2＋a8与

a4＋a6有什么关系？

a2=a1+d a8=a1+7d a4=a1+3d a6=a1+5d

a2＋a8=a4＋a6

2：一般地，在等差数列{an}中，什么条件下有

思考am+an=ap+aq

？

证明

amana1(m1)da1(n1)d2a1(nm)d2d,

apaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq)d2d, 

aman

apaq.（设计意图：观察，归纳，猜想，证明

———再现知识的形成过程）

结论

数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，

数列{an}是等差数列

判断下列哪些等式成立

且m+n=p+q，则am+an=ap+aq

(1)a3a5a1a7(2)a1a4a6a3a8(3)a1a5a6a2a3a7(4)a3a4a53a4(5)a3a4a54a3

(6)aa813a21

a1ana2an1a3an2akank1

注意：等式两边作和的项数必须一样多

（设计意图：强化等差数列性质，熟练性质的使用条件）

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例题1 在等差数列{an}中已知

a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20

练习

在等差数列{an}中已知

a3+a11=10，求

a6+a7+a8

例题2 在等差数列{an}中，已知 a1+a6=9, a4=7，求a3和a9.

练习1：已知{an}为等差数列，a4a610,求a5

练习2：已知{an}为等差数列，

（设计意图：进一步熟练等差数列的性质）

小结

1.在等差数列中，

m+n=p+q amanapaq

(m, n, p, q ∈N ) a1a8a13a18100,求a102. 在等差数列{an}中a1+an = a2+ an-1= a3+ an-2

=…

3等差数列的通项公式中，首项a1和公差d是最基本的量，也是

最根本的量，由此得到等差数列的相关性质

课堂评价：本节课在高考中地位很重，是常考的热点，尤其体现在思维能力的考查方面。因此本节课重在数学知识的形成过程，学生思维能力的培养方面。但又重视学生运算技巧方面的培养。

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第一届全市中小学青年教师教学竞赛教学片段

设计表

单位 湘潭市三中

组别 高中组 科目 数学 教学片段标题：

等差数列的前n项和

学情分析：

学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；但是高斯算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的难点．

教学目标：

【知识目标】理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能

运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理；

【能力目标】体会特殊与一般、化归与转化、整体与方程（组）等重要数学思想；学生在理解和运用公式的过程中，运算求解能力、分析问题及解决问题的能力得到进一步提高，培养创新意识与应用意识。

【德育目标】通过对高斯故事的了解,渗透数学史和数学文化，培养

善于观察、勇于探索、敢于创新的良好学习态度

教学重难点：

【重点】探索并掌握等差数列前n项和公式，会用公式解决求和问题

【难点】等差数列前n项和公式推导思路的获得

教学过程：

情景引入

高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？

据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却迅速算出了正确答案，你知道他是如何计算的吗? 请一学生将高斯算法再现一下。

（设计意图：迅速提高学生的学习兴趣，调节课堂气氛）

算法思考

高斯的思路有什么特点？为什么这么做，目的是什么？

特点：首尾配对

把不同数求和转化为相同数求和，把加法运算转化为乘法运算

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问题探究

如图堆放着一堆钢管，最上层放了4根，下面每一层比上一层多放一根，共9层，这堆钢管共有多少根？ 高斯办法行吗？为什么不行？原因？刚才为什么行？如何处理?同学们相互探讨下，能否对高斯的思路改进一下？

方法探究

动态演示。

①原图平移生成

②旋转显示“倒”

③补全呈现平行四边形结合图形分析如何配对：通过把和倒过来再写一次，上下对应两数进行配对相加。

（设计意图：借助几何图形的直观性，能启发思路，让复杂问题简单化，并为倒序相加法的出现提供了一个直观的模型）

算法启发

提问：等差数列的前

n

项和怎么求？ 通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法。

总结下这种方法的特点，学生总结，师生提出倒序相加法。

提问：这种方法可以推广到一般的等差数列求和吗？引出求等差数列前n项和的一般方法：倒序相加法。这样，很自然过渡到一般等差数列。

探索公式

Sna1a2an1ana1

Snanan1a2

2Snn(a1an)

nSn(a1an)

2

公式拓展

n公式1：Sn(a1an)29

n(n1)公式2：Snna1d

2

ana1(n1)d观察两个公式有何异同？ 公式1含a1、n、an、Sn四个量， 公式2含a1、n、d、Sn四个量。

应用公式

根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn：

（1）a1=2，an=16，n=8

（2）a1=6，d=－3，n=10 （设计意图：熟练基本量的关系）

例题讲解 在等差数列｛an｝中，a5=1

s10=0 求s20

练习

an

中在等差数列（1）已知：a2a5a12a1536,求S16

(2)

已知：a620,求S11（设计意图：从熟练向灵活过渡）

课堂小结

1.等差数列前n项和Sn公式的推导: 倒序相加法

2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用；

Sn(a1an)Snan(n1)dnn122

说明：(1)正确合理的选择公式.(2)知三求二.

3.思想方法

（1）方程思想

（2）整体思想

（公式的应用除了直接代入的常规解法及简单的变用之外，还要注意整体思想在数学解题中的应用，培养学生灵活运用公式的能力）

课堂评价：本节课重点培养学生的基本技能，同时重视学生运算技巧方面的培养。

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