阅读与思考 海伦和秦九韶ppt配用优秀获奖教案

《等差数列的前n项和》

1 教学目标

1.1 掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式等差数列前n项和公式的运用。

1.2 通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。

1.3 公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶；通过公式的运用，树立学生"大众教学"的思想意识。

2 教学重点

2.1 探索并掌握等差数列的前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题。

3 教学难点

3.1 等差数列前n项和公式推导思路的获得。

3.2 等差数列前n项和公式的熟练应用。

4 教学策略

4.1 学情分析

学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，有了一定的准备知识，但对等差数列的求和的方法和公式还是一无所知。针对学生的认

知规律，本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过分析、讨论、归纳、探索而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法在数列求和中的应用。

本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来引导学生主动参与自主探究，培养学生创新能力，初步提高全体学生发现问题、提出问题和解决问题的能力。

4.2 教学方法与学法指导

4.2.1

自主—合作—探究

4.2.2

给出探究课题—获取关键知识点—设计练习、巩固知识点

5

课前准备

制作多媒体课件，印制课堂小测、课后练习

6 板书设计

必修5第二章：数列

第3节：等差数列的前n项和

2.3、等差数列的前n项和

1、等差数列的前n项和的概念

2、等差数列的前n项和的推导过程

3、等差数列的前n项和公式的应用

7 课时安排

第一课时

8 教学过程

8.1 复习旧知，为新课铺垫

课前让每个学生准备一张白纸，同时让两个学生在黑板上板演，教师说检测内容：

①等差数列的定义及定义式；

②等差数列的通项公式；

③等差数列通项公式的推导方法；

④等差数列的相关性质。

本环节主要是检查学生掌握上节知识的情况，为本节新课的学习做好准备。教师巡视，2分钟后，看到学生做答完毕，让学生将检测纸收起来。之后，教师和学生一起对黑板上的做答评价，订正。

8.2 创设情境，引入高斯算法——首尾配对相加法

有一次，老师带高斯去买铅笔，在商店发

现了一个堆放铅笔的V形架，

V形架的最下面一层放

一支铅笔，往上每一层

都比它下面一层多放一

支，最上面一层放100支。

老师问：高斯，你知道这

个V形架上共放着多少支铅笔吗？

高斯很快就回答：5050支。

教师：其实情境中老师的问题就是：1+2+3+4……+100=？高斯很快算出了答案，那同学们能够算出来吗？（在这个环节中，把班里的同学

以5个人为一组进行讨论，得出小组讨论的结果。讨论结束后派出小组的代表发言。）

学生1：可以逐项相加，得到结果。

学生2：可以每十项相加，一共有10组，最后10个结果相加。

教师：这些方法都可以计算出结果，不过过程比较复杂。我们可以看看高斯的快速算法——首尾配对相加法。

计算：1 + 2 + 3 + 4…… + 99 + 100

高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：

第一个数与最后一个数一组；

中间的一组数 第二个数与倒数第二个数一组；

是什么呢？

第三个数与倒数第三个数一组，……

每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果。

教师：那1到100的数里，中间的一组数是什么呢？

学生：50和51。

8.2 《等差数列的前n项和》的学习

8.2.1 《等差数列的前n项和》的概念

aaa一般地，我们称a为数列an的前n项和，用Sn表123n示，即

S=aaaa

n123n8.2.2 《等差数列的前n项和》的公式推导——倒序相加法

假如最上面一层有很多

支铅笔，老师说有n支。

问：这个V形架上共放

着多少支铅笔？

问题就是：

S123n=？n教师：若用首尾配对相加法可以吗？

教师：配对时n是奇数还是偶数会有不同的结果。

教师设问：我们再回顾一下刚才解决的问题，共有100项，两两分组正好分为50组，如果1+2+3+…+101=？n项时又应如何分组？最后一组应怎样表示？

学生：1+101=102，2+100=102，3+99=102……50+52=102，51=51共有50组多出第51项。

教师：n分奇偶性讨论，n为偶数时正好分成组，n为奇数时分成组还多一项。

n2n-12需要分类讨论

n

123n=(1n)当n为偶数时，Sn2n-11n当n为奇数时，S

123n=(1n）+(1n)=(1n)n222教师：好，通过分类讨论我们得出了等差数列的前n项和Sn公式，从所得的结果看无论n是奇数还是偶数Sn的公式一样。那么我们是否可以避开讨论n的奇偶性去推导呢？怎样出现首末两项的和？

教师：下面我们来推导探讨等差数列的前n项和Sn公式（学生观察幻灯片上以等差数列逐层排列的一堆铅笔。）

教师引导学生，这堆铅笔从下至上每层的数量组成首项a11，公差为1的等差数列。求这堆铅笔有多少根，就是求这个等差数列前n项的和，怎样求这n项的和？学生开始小组讨论，3分钟后，小组代表纷纷发言，说出自己的思路。有的学生提出，可以联系三角形面积的得出办法，补成平行四边形，利用平行四边形面积的一半得出。

教师小结：很好，借助此思路，在这堆铅笔旁，再堆放同样数量的铅笔，如下图所示。这时每层都有铅笔（1＋n）根，因此这堆钢管的总数是（1＋n）×n÷2（根）。用数学算式表示如下：

S123(n1)nn

①

②

Sn(n1)321n

①式+②式，得

2Sn(n1)

nn(n1)

S=n2教师提出问题：对于等差数列an的前n项和Sn怎样求解？

教师提示：a学生小组讨论，由小组代表发aaaaa,1n2n13n2言，说出推导思路：

Saaaa ①

n123n再把项的顺序反过来，Sn又可写成

Saaaa ② nnn1n21

把①②两边分别相加，得2，由此得到，求等差数列Sn(aa)n1nn(aa)2n(aa)1n若将a代入，可得等差数列前n项和的a(n1)dSn1n2n(n1)d又一公式S。

nan121n前n项和Sn公式，即S

n教师让学生记忆公式并在笔记本上默写。

教师总结：等差数列的前n项和两个常用公式

n(aa)2n(n1)d②S

nan121n①S

n教师提示：（1）相同点：两个公式的式子里都有4个未知量。

（2）不同点：对于公式①，常用于题目中给出了等差数列的首项，末项以及项数这三个条件；对于公式②，常用于题目中给出了等差数列的首项，公差以及项数这三个条件。

8.3 例题讲解、巩固新知（ppt展示例题）

《例1》（1）在等差数列an中，an2n1，求Sn（结果用n表示）

分析：题目中给出了通项公式an2n1，就可以求出等差数列an的1n首项a1，而题目中的项数为n。所以，应该选取公式①S来nn(aa)2求在等差数列an的前n项和。

解答：

n(12n1)Sn2=n2n

22=n

a21111（2）计算5+6+7+8+……+80=？

分析：由题意可知，该算式是首项a1为5，公差d为1，末项an为80的等差数列an。也可以计算出该等差数列的项数：n=80-5+1=76项。对于两个等差数列的前n项和两个常用公式都可以选用。

解答①：在等差数列an中，a1=5，n=80-5+1=76,an=80



S=5+6+7+8++807676(580)2 =3230



S76解答②：在等差数列an中，a1=5，n=80-5+1=76,d=1

76(761)

S7651762=3230

《例2》2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？（等差数列的求和公式在生活中的应用，强调此类题目的解答过程的规范性）

解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金，构成等差数列an，且a1=500,d=50,n=10。

故，该市在未来10年内的总投入为：

10(101)S10500507250(万元)

102

答：从2001到2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。

《例3》（让学生掌握对等差数列的前n项和Sn公式中，已知三个未知量求出第四个未知量的类型题的解法） 在等差数列an中，已知a110，d=4,Sn54,求n的值。

解：

n(n1)dSnna12n(n1)254=-10n2即：n26n270解得n=9或n=-3(舍去)n=9注意：在等差数列an中，项数nN*。

8.3 变式练习、灵活应用新知（ppt展示）

变式练习1：（训练学生对等差数列的前n项和Sn公式的选择）

根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的Sn：

1a5,a95,n10

1n2a100,d2,n50

1变式练习2 ：（参照例题2的解法） 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？

变式练习3：（“知三求一”类型题训练）

20,a54,S740,则n______（1）在等差数列an中，a

1nn4,S70,则a______（2）在等差数列an中，d

51

-2,S-156,则d______（3）在等差数列an中，a

188.4 小结：

学生活动：学生之间互相提问，通过本节课的学习，你学到了什么？教师倾听并进行补充。

学生归纳本小节内容，教师及时补充。小结如下：

<1>等差数列的前n项和的概念

S=aaaan123n<2>等差数列的前n项和的常用公式

n(aa)2n(n1)d②Snna1

21n①S

n<3>等差数列的前n项和的公式推导方法——倒序相加法

<4>等差数列的前n项和的常用公式的应用