信息技术应用 用Excel解线性规划问题举例课程导入

3.3基本不等式

教学目标：

1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣. 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab【教学难点】

基本不等式ab【教学过程】

一、课题导入

基本不等式abab的几何背景：

2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

二、讲授新课

1．问题探究——探究图形中的不等关系。

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角么正方形的边长为ab。这样，4个直22ab的证明过程；

2ab等号成立条件

2中国古代数学民热情好客。ABCD中右个边长为a,b那角三角形的面22积的和是2ab，正方形的面积为ab。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一22个不等式：ab2ab。

22当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有ab2ab。

22a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取""号)

2．重要不等式：如果

222ab2ab(ab)证明：, 当ab时,(ab)0,当ab时,(ab)0,

222(ab)0(ab)2ab.

所以，，即22由上面的结论，我们又可得到

3．基本不等式：令a当且仅当x,by，由上述不等式可得xy2xy，其中x,y0

xy时，等号成立. abab(当且仅当ab时取""号).2即，如果a,b是正数，那么

abab(a)(b)2ab,ab2ab证明：∵ ，即2

22ab时,显然，当且仅当说明：ⅰ）我们称abab2

ab为a,b的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

ⅱ）a2b22ab和ab2ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数

ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件

iv）数列角度:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 4.根据你学过平面几何知识，你是否能用平面几何图形对得到不等式（2）进行几何解释：均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”．

以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b．过2垂直于直径AB的弦DD′,那么CDCACB，即CD点C作ab

这个圆的半径为ababab，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b，显然，它不小于CD，即22

时，等号成立．

三、实例应用

ab2a2b2例1 已知a,b为正数，试比较的大小. ,ab,,1122ababa2b2ab分析：特殊化探究—猜想排序—严格证明.

略证：1122ab21ab1111122

， 

112abababab说明：思考上述不等式链的几何解释. 由直角三角形的射影定理可知，若斜边上的高为a,b两份，那么斜边上的高即为ab，斜边将斜边分上的中线AE长即为DMAEab,作

2，垂足为M，则AD2ab2DM.在BD上取ab11AE2abN，使得DN2(ab)22，则由DEDBBEaabab22知，DNDE，而(ab)2a2b2.显然有AMADAEAN，因此，ANADDNab222aba2b2ab. 1122ab2四、课堂练习

1.P90练习：如图，正方形的边长为ab(a0,b0)，请你利用OAOBBA写出一个含有a,b的不

等式来，并与前面的不等式比较，与同学交流体会.

2、已知a、b、c、d都是正数，求证：

（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd 分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识．

证明：由a、b、c、d都是正数，得

ab＋cdac＋bd

≥ab·cd ＞0，

≥ac·bd ＞0，

22（ab＋cd）（ac＋bd）4∴

≥abcd即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd 2223、已知a,bR，证明：abcabbcca

五．课堂小结

1．重要不等式：如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取""号)

2．基本不等式：如果a,b是正数，那么abab(当且仅当ab时取""号).

2aba2b2ab3.均值不等式链：若a,bR,则.

1122ab2六．课后作业：

aba2b2ab1．

已知a,b为正数，求证：. 1122ab22．已知x、y都是正数，求证：

(1)yx≥2；

xy223333(2)（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥8xy．