小结教学内容

教学内容：高三一轮复习第六章《不等式》第三讲 基本不等式

执教人：黄远忠

授课时间：2017年11月20日星期一第6节

授课地点：K三年10班教室

【教学目标】

1.了解基本不等式的证明过程．

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

【重点难点与难点】

重点：会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题

难点：会合理拆项或凑项应用基本不等式求给定条件的最值问题，对知识进行梳理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力。

【教学过程】

一、高考导航

考纲下载：1.了解基本不等式的证明过程．

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

二、教材回顾

夯实基础

知识梳理

1．重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)

a＋b2．基本不等式：≥ab

2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b>0；

（注：充要条件是：a≥0，b≥0；）

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立；

a＋b(3)若a0,b0则称叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．因此2基本不等式又称为均值不等式．

3．利用基本不等式求最大、最小值问题

(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2P. (简记：“积定和最小”)

S2(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值. 4(简记：“和定积最大”)

必清误区：

(1)使用基本不等式求最值．“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．

(2)连续应用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．

双基自测

1．下列各式中,最小值等于2的是(

) xx

A

x221

C.tan θ

22

x2212．函数f(x)＝x＋的值域为(

) xA．[－2，2]

B．[2，＋∞)

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

D．R

三、典例剖析

突破考点

考点一：利用基本不等式求最值

4例1（1）若x>1，则x＋的最小值为________．

x－1444[解析] x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．

x－1x－1x－1（2）若0x1，则x(12x)的最大值为

。

21

x2＋2x＋2(3)

函数y＝(x>－1)的图象最低点的坐标是(

) x＋1A．(1,2)

B．(1，－2)

C．(1,1)

D．(0,2) x＋2＋111【解析】

由题意得y＝＝(x＋1)＋，∵x>－1，∴x＋1>0，∴y≥2x＋x＋1x＋1x＋1＝2当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝1(x>－1)时等号成立，此时x＝0.即函数图象的最低点的坐标为x＋1(0,2)．

【答案】

D x(4)已知x>0，则2的最大值为________．

x＋4x14x1114【解析】

2＝，∵x>0，∴>0，∴2＝≤＝，当且仅当x＝(x>0)，即x＝24x4xx＋4x＋444x＋x＋2x·xxxx11时等号成立，∴2的最大值为.【答案】

44x＋4(5)已知正实数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为________．

12【解析】

由x>0，y>0，x＋2y－xy＝0得＋＝1，

yx12＋＝1，yx12x4yx4y4yx＋＝＋2＋2＋＝＋＋4≥2x＋2y＝(x＋2y)·＋4＝8，当且仅当

yxyxyxxyx4y＝，yx

12y＋x＝1，即时等号成立，此时x＝4，y＝2，x＋2y＝4＋2×2＝8.【答案】

8 x＝2y，归纳：利用基本不等式求最值的常用技巧

1．若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．

2．若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形.巧用“拆”“拼”“凑”以及

“1”的代换等技巧，使其满足不等式中“一正”“二定”“三等”的条件．

考点二: 利用基本不等式解决实际问题

例2【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是

▲

.

【答案】30

归纳：

2

考点三: 基本不等式的综合应用

例3已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(

) A．(－∞，－1)

B．(－∞，22－1)

C．(－1,22－1)

D．(－22－1,22－1) 32x＋2x2解析：(1)由f(x)＝3－(k＋1)·3＋2>0，得3＋2>(k＋1)·3，即x＝3＋x>k＋1恒成立．

332xx2xx2∵3x＋x≥23即k<22－1. 2223x·x＝22，当且仅当3x＝x即3x＝2时取等号．∴3x＋x的最小值为22.∴k＋1<22，333归纳：利用基本不等式处理综合问题的类型及相应的策略

1．应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．

2．条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．

3．求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．

四、易错辨析

多次使用基本不等式忽视成立条件致误

1.已知x,y∈R+,且2x+5y=20,求

的最小值

错解：∵x,y∈R+,∴2x+5y≥

∴(2x+5y

又2x+5y=20,

错因分析：在求

的最小值时,两次应用了基本不等式,必须满足两个不等式能同时取到等号,

否则取不到最小值,而

11x＋y＋的最小值为________．

2.已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝xy111xyxy1x＋y＋＝xy＋＋＋＝xy＋＋＋≥2[错误解法]

z＝xyyxxyyxxy1xy·＋2xyyx·＝2＋2＝4. xy

无解,即两个不等式不能同时取到等号,故

取不到

[错解分析]

分析上述解题过程指出错误所在并分析原因．提示：连续两次运用基本不等式．

错误原因：第一个等号成立的条件是xy＝1，第二个等号成立的条件是x＝y，两个等号不能同时成立．

111yx1x＋y＋＝xy＋＋＋＝xy＋＋[自我纠正]

z＝xyxyxyxyxy≤x＋y2－2xy2＝＋xy－2.令t＝xy,0

125所以当x＝y＝时，z有最小值. 24【答案】

25

4归纳：

若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致．

跟踪训练：

31m1．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(

) aba＋3bA．9

B．12

C．18

D．24 31m【解析】

因为a>0，b>0，不等式＋≥恒成立，所以m≤aba＋3b9ba＝6＋＋≥6＋2ab313＋1＋min，a＋3b因为(a＋3b)abab9ba·＝12，当且仅当a＝3b时取等号，所以m的最大值为12.【答案】

B ab112．若点A(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．

mn【解析】

因为点A(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，

11mn11nmmn11＋＋＝＋＋＋≥1＋2所以m＋n－2＝0，即＋＝1，所以＋＝22mnmn22222m2nnm11仅当＝，即m2＝n2时取等号，所以＋的最小值为2.【答案】

2 2m2nmn13．已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得am·an＝22a1，则＋m4的最小值为________．

n【解析】

(2)设公比为q(q>0)，由a7＝a6＋2a5得a5q2＝a5q＋2a5，

m∴q2－q－2＝0(q>0)，∴q＝2.由am·an＝22a1，得a1·2m1·a1·2n1＝8a21，∴2－－＋n－2nm·＝2，当且2m2n＝8，即m＋n－2＝n4m1141141910＋(m＋n)＝5＋＋≥(5＋4)＝，当且仅当n＝2m＝时，等号4.∴m＋n＝5.则＋＝×mn5mn5mn553成立．

五、课堂小结：

(1)使用基本不等式求最值．“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．

(2) 要掌握基本不等式求最值的常用技巧

（3）连续应用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．

六、课后作业：

课后达标检测A本P269

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