1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球课件配套优秀教案案例

简单几何体的外接球与内切球问题

定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，

则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。

5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

一、

直棱柱的外接球

1、

长方体的外接球：

长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c，则体对角线长为la2b2c2，几何体的外接球直径2R为体对

a2b2c2角线长l

即R

22、

正方体的外接球：

正方体的棱长为a，则正方体的体对角线为3a，其外接球的直径2R为3a。

3、

其它直棱柱的外接球：

方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。

例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为 . 例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A.16 B.20 C.24 D.32

二、

棱锥的外接球

1、

正棱锥的外接球

98方法：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。

例3、正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积

为 . 例5、若正四面体的棱长为4，则正四面体的外接球的表面积为___________。

例6、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（

）

（A）32、

34 (B)33 (C) 34 (D) 312

补体方法的应用

（1）、正四面体（2）、三条侧棱两两垂直的三棱锥

（3）、四个面均为直角三角形的三棱锥

例7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm2、4cm2和3cm2，那么它的外接球的体积是

。

例9、在三棱锥ABCD中，AB平面BCD,CDBC,AB3，BC4，CD5

则三棱锥ABCD外接球的表面积__________。

例10、如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为(

)

A. 4π

B. 8π

C. 12π

D. 16π

三、

圆柱、圆锥的外接球

旋转体的外接球，可以通过研究轴截面求球的半径。

例11、圆柱的底面半径为4，母线为8，求该圆柱的外接球的半径。

例12、圆锥的底面半径为2，母线长为4，求该圆锥的外接球的半径。

四、

正方体的内切球

设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径。

（1）截面图为正方形EFGH的内切圆，得R；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R

图1 图2 a22a。

2

五、

棱锥的内切球（分割法）

将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R的方程。若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为R例17、正四棱锥SABCD，底面边长为2，侧棱长为3，则内切球的半径是多少？

3V. S

例18、三棱锥PABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，

PA⊥底面ABC，且PA2，则此三棱锥内切球的半径为（ ）

六、

圆柱（轴截面为正方形）、圆锥的内切球（截面法）

例19、圆锥的高为4，底面半径为2，求该圆锥内切球与外接球的半径比。

例20、圆柱的底面直径和高都是6，求该圆柱内切球的半径。

巩固训练：

1、一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两

P 个底面和三个侧面都相切)和一个外接球D E F (球经过三棱柱的6个顶点),则此内切球与外接球2、如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥________．

3、棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个

B

A C 表面积之比为 。

PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中

三角形(正四面体的截面)的面积是 .

4、已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上, ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC2;则此棱锥的体积为

（

）

A．2

6B．3

6C．2

3D．2

25、已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为23正方形.若PA=26,则△OAB的面积为______________.