1.不等式的基本性质优秀完整教案

§1

不等式的性质

[自主学习]

1．实数大小的比较

a>b⇔a－b>0；

求差法

a

a＝b⇔a－b＝0. 求商法

a当a>0，b>0时，b<1⇔a1⇔a>b；b

2．不等式的性质

(1)性质1(对称性)：如果a>b，那么b

如果bb. (2)性质2(传递性)：如果a>b，b>c，那么，a>c. (3)性质3(加法性质)：如果a>b，那么a＋c>b＋c. ①移项法则：如果a＋b>c，那么a>c－b. ②推论(加法法则)：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (4)性质4(乘法性质)：如果a>b，c>0，那么ac>bc，

如果a>b，c<0，那么acb>0，c>d>0，那么ac＞bd. ②推论2(平方法则)：如果a>b>0，那么a2>b2. ③推论3(乘方法则)：如果a>b>0，那么an>bn(n为正整数)．

11④推论4(开方法则)：如果a>b>0，那么a>b(n为正整数)．

nn[合作探究]

1．怎样比较两个代数式的大小？

提示：整式、分式一般用求差的方法来比较大小；而算式则一般用求商的方法来比较大小．

2．两个不同向不等式的两边可以分别相减或相除吗？

提示：不可以，两个不同向不等式的两边不能分别相减，也不能分别相除，在需求差或商时，可利用不等式性质化为同向不等式相加或相乘，例如：a>b且cb且－c>－d，⇒a－c>b－d. 3．若a>b>0，当n<0时，an>bn成立吗？

提示：不成立，如当a＝3，b＝2，n＝－1时，

11－－31＝<＝21. 32

[例1]

(1)比较a4－b4与4a3(a－b)的大小．

a＋b(2)设a＞0，b＞0，求证：aabb≥(ab). 2[思路点拨]

本题考查求差比较法及求商比较法在比较代数式大小中的应用，同时考查了运算及转化能力，解答此题(1)需要用求差的方法比较，解答(2)需要用求商的方法证明．

[精解详析]

(1)a4－b4－4a3(a－b) ＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b) ＝(a－b)[(a＋b)(a2＋b2)－4a3]

＝(a－b)(a3＋ab2＋ba2＋b3－4a3) ＝(a－b)[(ab2－a3)＋(ba2－a3)＋(b3－a3)]

＝(a－b)(a－b)[－a(a＋b)－a2－(a2＋b2＋ab)]

＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2) ＝－(a－b)2[(3a＋b222)＋b]≤0 33比较大小

(当且仅当a＝b时取等号)．

∴a4－b4≤4a3(a－b)．

(2)证明：∵aabb＞0，(ab)∴aabbabab2ab2＞0，

ab2＝aab2·bba2a＝b. aa－b①当a＝b时，显然有()＝1，

b2a－ba②当a＞b＞0时，＞1，＞0，

b2

a－ba③当b＞a＞0时，0＜＜1，＜0. b2aa－b由指数函数的单调性，②③均有b2＞1. a＋b综上可知，对任意正数a，b，都有aabb≥(ab). 2

比较大小的常用方法及步骤：

1．求差法：a≥b⇔a－b≥0，a≤b⇔a－b≤0. 一般步骤是：作差→变形→判号→定论．

变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段．

a2．求商法：当a＞0，b＞0时，把比较a，b的大小转化为比较与1的大小关系，此即b为作商比较法．

理论依据是不等式的性质：

aa若a＞0，b＞0，则≥1⇔a≥b，≤1⇔a≤b. bb一般步骤为：作商→变形→与1比较大小→定论．

1．已知x≠0，求证：(x2－1)2＜x4＋x2＋1. 证明：(x2－1)2－(x4＋x2＋1) ＝x4－2x2＋1－x4－x2－1 ＝－3x2＜0，

∴(x2－1)2＜x4＋x2＋1. a2－b2a－b2．设a>b>0，求证：22>. a＋ba＋ba2－b2a－b证明：法一：2－

a＋b2a＋ba－b[a＋b2－a2＋b2]＝

a2＋b2a＋b＝2aba－b>0，

a2＋b2a＋b所以原不等式成立．

法二：∵a>b>0，故a2>b2>0. 故左边>0，右边>0.

左边a＋b22ab∴＝2>1. 2＝1＋2右边a＋ba＋b2∴原不等式成立.

利用不等式的性质辨别不等式的正误

[例2]

对于实数a，b，c判断下列命题的真假．

(1)若a>b，则ac

(2)若ac2>bc2，则a>b；

(3)若aab>b2；

(4)若a|b|；

(5)若c>a>b>0，则ab>. c－ac－b[思路点拨]

本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力．解答此题需要依据实数的基本性质，实数的符号的运算法则以及不等式性质，然后经过合理逻辑推理即可判断．

[精解详析]

(1)由于c的符号未知，因而不能判断ac，bc的大小关系，故该命题是假命题．

(2)由ac2>bc2知c≠0，而c2>0，

∴a>b，故该命题是真命题．

aab；

a<0ab2，

b<0

∴a2>ab>b2，故该命题是真命题．

(4)两个负实数，较小的离原点远，其绝对值反而大，故该命题是真命题．

a＞b＞0⇒－a＜－b＜0

(5)

c＞a＞b＞0⇒0

⇒

11＞＞0c－ac－b

a＞b＞0⇒ab＞，

c－ac－b故该命题是真命题．

在利用不等式性质判断不等式真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选择使用不等式的性质，当否定一个结论时只需举一个反例即可；有时也可采用特殊方法比较判断．

3．若a＞b＞c，则下面不等式中一定成立的是(

) A．a|c|＞b|c|

C．a－|c|＞b－|c|

B．ab＞ac

111D.＜＜

abc解析：选项A需要c≠0，选项B需要a＞0，选项D需要a，b，c同号．

答案：C 4．利用不等式的性质判断下列各命题是否成立，并简述理由．

(1)a＞b⇒2x·a＞2x·b. －－(2)a＞b，c＞d⇒a－c＞b－d. ab(3)a＞b，c＜d，cd≠0⇒＞. cd11(4)a＜b＜0⇒＞. a－ba解：(1)成立．

因为2x＞0，由性质(4)知2x·a＞2x·b. －－－(2)不成立．令a＝5，b＝4，c＝3，d＝1，有a－c＜b－d. ab(3)不成立．当a＞b＞0，c＜0，d＞0时显然有＜. cd(4)不成立．

11b11－＝，由a＜b＜0，可得＜. a－baaa－ba－ba

利用不等式的基本性质求代数式的取值范围

x[例3]

已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围为________，的取值范围为y________．

1x[思路点拨]

利用不等式性质，先求－y和的取值范围，再求x－y和的取值范围．

yy[精解详析]

x－y＝x＋(－y)，

所以需先求出－y的取值范围；

x11＝x×，所以需先求出的取值范围．

yyy111∵28＜y＜33，∴－33＜－y＜－28，＜＜. 33y2860x84又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，＜＜. 33y2820x即＜＜3. 11y

[答案]

27＜x－y＜56

20x＜＜3 11y

本题不能直接用x的取值范围去减或除y的取值范围，应严格利用不等式的基本性质去求得取值范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“取值范围”间的联系．如已知20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，要求2x＋3y的取值范围，不能分别求出x，y的取值范围，再求2x＋3y的取值范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，51即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)来求2x＋3y的取值范围，或根据线性规化知识求目标函数z＝222x＋3y的取值范围．

5．已知①－1≤a＋b≤1，②1≤a－b≤3，求3a－b的取值范围．

解：设3a－b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b. x＋y＝3，x＝1，∴∴

x－y＝－1，y＝2.

由①＋②×2得：－1＋2≤(a＋b)＋2(a－b)≤1＋3×2，

即1≤3a－b≤7.

利用不等式的性质证明不等式

[例4]

若a>b>0，c

ee(1)>；

a－cb－dee(2). 2>a－cb－d2[思路点拨]

本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力．解答本题可先比较a－c与b1111－d，(a－c)2与(b－d)2的大小，进而判断与，的大小，再两边同乘2与a－cb－da－cb－d2以负数e，得出要证明的结论．

[精解详析]

∵c－d>0，

∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.

(*) (1)由(*)式知11<. a－cb－dee又∵e<0，∴>. a－cb－d(2)由(*)式知(a－c)2>(b－d)2>0，

∴11. 2>b－da－c2ee又∵e<0，∴. 2<b－da－c2即ee. 2>a－cb－d2

利用不等式的性质证明不等式，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果能由不等式的性质直接进行推理论证，则严格按不等式性质成立的条件论证；否则可以先分析需要证明的不等式的结构，再利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．

ac6．已知a＞b＞c＞d＞0，且＝，求证：a＋d＞b＋c. bda－bc－dac证明：∵＝，∴＝. bdbd∴(a－b)d＝(c－d)b. 又∵a＞b＞c＞d＞0，

b∴a－b＞0，c－d＞0，b＞d＞0且＞1，

d∴a－bb＝＞1，

c－dd∴a－b＞c－d，即a＋d＞b＋c.

本课时内容是不等式的基础，是高考的重要考点，主要考查比较大小问题，不等式正误的判断以及利用不等式性质确定代数式的取值范围问题．一般与函数、方程等知识交汇命题．

[考题印证]

x2x3(江苏高考)设x，y为实数，满足3≤xy≤8,4≤≤9，则4的最大值是________．

yy2[命题立意]

本题主要考查不等式的性质与函数的最大值的概念的综合应用及函数方程思想、转化分类及运算求解能力．

[自主尝试]

由题设知，实数x，y均为正实数，

则条件可化为lg 3≤lg x＋2lg y≤lg 8，

lg 4≤2lg x－lg y≤lg 9，

lg 3≤a＋2b≤3lg 2，令lg x＝a，lg y＝b，则有

2lg 2≤2a－b≤2lg 3.

x3又设t＝4，则lg t＝3lg x－4lg y＝3a－4b，

y令3a－4b＝m(a＋2b)＋n(2a－b),

解得m＝－1，n＝2. 即lg t＝－(a＋2b)＋2(2a－b)≤－lg 3＋4lg 3＝lg 27. x3∴4的最大值是27. yx2x4另解：将4≤≤9两边分别平方得，16≤2≤81，①

yy111又由3≤xy2≤8可得，≤2≤，②

8xy3x3x3由①×②得，2≤4≤27，即4的最大值是27. yy[答案]

27

[对应学生用书P4]

一、选择题

1．若a＜0，－1＜b＜0，则有(

) A．a＞ab＞ab2

C．ab＞a＞ab2

解析：∵a＜0，－1＜b＜0，

∴ab＞0，b－1＜0,1－b＞0,0＜b2＜1，

∴1－b2＞0，ab－a＝a(b－1)＞0. ∴ab＞a. 又ab－ab2＝ab(1－b)＞0，

∴ab＞ab2. 又a－ab2＝a(1－b2)＜0，

∴a＜ab2.故ab＞ab2＞a. 答案：D 2．设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：

cc①>；②acloga(b－c)．

ab其中，正确结论的序号是(

) A．①

B．①②

B．ab2＞ab＞a

D．ab＞ab2＞a

C．②③

D．①②③

11cc解析：由a>b>1，c<0得，<，>；幂函数y＝xc(c<0)是减函数，所以acb－c，所以logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，①②③均正确．

答案：D ππ3．设角α，β满足－＜α＜β＜，则α－β的范围是(

) 22A．－π＜α－β＜0

πC．－＜α－β＜0

2ππ解析：∵－＜α＜β＜，

22ππ∴－＜－β＜－α＜. 22∴－π＜α－β＜β－α＜π，

且α－β＜0.∴－π＜α－β＜0. 答案：A 4．若a＞b＞0，则下列各式中恒成立的是(

) 2a＋baA.＞

a＋2bb11C．a＋＞b＋

abb2＋1b2B.2＞2

a＋1aD．aa＞bb

B．－π＜α－β＜π

ππD．－＜α－β＜

222a＋b5a解析：选取适当的特殊值，若a＝2，b＝1，可知＝，＝2，由此可知选项A不a＋2b4b11成立．利用不等式的性质可知，当a＞b＞0时，＜，由此可知，选项C不恒成立．取aab11＝，b＝，则a＞b＞0，则aa＝bb，故选项D不恒成立．故选B. 24答案：B 二、填空题

5．设a≥b＞0，P＝3a3＋2b3，Q＝3a2b＋2ab2，则P与Q的大小关系是________．

解析：P－Q＝3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．

因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a2≥b2＞0. 所以3a2≥3b2＞2b2，即3a2－2b2＞0. 从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，

即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，即P≥Q. 答案：P≥Q

6．若a，b∈R，且a＞b，下列不等式：

bb－1①＞；②(a＋b)2＞(b＋1)2；③(a－1)2＞(b－1)2. aa－1其中不成立的是________．

a－bbb－1ab－b－ab＋a解析：①－＝＝. aa－1aa－1aa－1因为a－b＞0，a(a－1)符号不确定，①不成立；②取a＝2，b＝－2，则(a＋b)2＝0，(b＋1)2＞0，②不成立；

③取a＝2，b＝－2，则(a－1)2＝1，(b－1)2＝9，③不成立．

答案：①②③

7．有以下四个条件：

①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0. 11其中能使＜成立的有________个条件．

ab1解析：①∵b＞0，∴＞0. b111∵a＜0，∴＜0.∴＜. aab11②∵b＜a＜0，∴＞. ba11③∵a＞0＞b，∴＞0，＜0. ab11∴＞. ab11④∵a＞b＞0，∴＜. ab

11综上知，①②④均能使＜成立．

ab答案：3 8．若1

解析：∵－4

∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0 又∵1

9．当a≠0时，比较(a2＋2a＋1)(a2－2a＋1)与(a2＋a＋1)(a2－a＋1)的大小．

解：∵(a2＋2a＋1)(a2－2a＋1) ＝[(a2＋1)＋2a][(a2＋1)－2a] ＝(a2＋1)2－2a2＝a4＋2a2＋1－2a2＝a4＋1，

(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝[(a2＋1)＋a][(a2＋1)－a]＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1，

∴(a2＋2a＋1)(a2－2a＋1)－(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝(a4＋1)－(a4＋a2＋1)＝－a2. ∵a≠0，∴a2＞0，∴－a2＜0，

∴(a2＋2a＋1)(a2－2a＋1)＜(a2＋a＋1)(a2－a＋1)．

11110．已知a>b>c，求证：＋＋>0. a－bb－cc－a证明：原不等式变形为：111＋>. a－bb－ca－c又∵a>b>c，∴a－c>a－b>0. 从而有11>，

a－ba－c1111又∵>0，∴＋>. b－ca－bb－ca－c即111＋＋>0. a－bb－cc－a11．已知一次函数f(x)＝ax＋b，且－1≤f(－1)≤2，－2≤f(2)≤3，求f(3)的取值范围．

解：法一：(不等式基本性质) －1≤－a＋b≤2，

①∵

－2≤2a＋b≤3.

②

14又∵f(3)＝3a＋b＝－(－a＋b)＋(2a＋b)，

331013∴－≤f(3)≤. 33－1≤－a＋b≤2，法二：(线性规划)因为

－2≤2a＋b≤3，

所以点(a，b)所表示的区域如图阴影所示，

又∵f(3)＝3a＋b，

41所以由线性规划知识可知，当(a，b)在D3，3位置时f(3)取得最42－，位置时f(3)取得最小值，

大值；在B331013∴－≤f(3)≤. 33法三：(利用斜率公式)

∵P1(－1，f(－1))，P2(2，f(2))，P3(3，f(3))三点共线，∴kP1P2＝kP1P3. ∴f2－f－1f3－f－1＝. 2－－13－－114∴f(3)＝－f(－1)＋f(2)．

33又∵－1≤f(－1)≤2，－2≤f(2)≤3，

1013∴－≤f(3)≤. 33