2.3.1 圆的标准方程教案3

《圆的标准方程》教学设计

第二章 2.3.1《圆的标准方程》

集备组：高一数学组

执

笔：张 月

时

间：2017.12.18 识记：判断两条直线位置关系的方法和等价条件

知

识

理解：两条直线位置关系的推导方法；

与技能

运用：运用两条直线位置关系的判断方法和等价条件判断直线的位置关系，会求解方程，并利用这一关系处理变型题

培养：数形结合的思考能力和分析问题的能力，初步了解解析几何的魅力。

（1）进一步培养学生运用坐标法研究几何问题的能力；

过

程

（2）渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，与方法

注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

教

学

（1）通过运用圆的知识解决实际问题的学习，让学生体会数形结合重目

要思想方法，激发学生学习数学的热情和兴趣，理解理论来源于实践标

情

感

又服务于实践的道理；

态

度

（2）通过圆的标准方程的推导，让学生多角度的认识数学，理解数学，从而价值观

更好的学习数学，自觉建立科学的数学思维。

（3）发现圆是最美的曲线，它简洁、对称、和谐；

帮助学生树立辨证唯物主义的运动观和普遍联系的观点。

重

点

圆的标准方程的推导以及根据具体条件正确写出圆的标准方程

难

点

运用圆的标准方程解决一些简单的实际应用

关键：

明确圆的标准方程的特点

由初中学过的圆的定义引入，引导学生建立直角坐标系，利用代数方法教

学

解决几何问题，建立解析几何的思想，进而启发学生从代数的角度认识圆；

思

路

由几何问题用代数方法解决求得圆的标准方程，利用代数关系计算解释几何教

图形关系，达到了数与形的完美结合。

学

课

时

一课时

策

略

教

法

教师启发、引导

学

法

学生自主探究、讨论、合作研究

教

学

用

具

常规教学工具，多媒体

教学过程：

教 学 内 容

教和学反馈

【课程导入】赵州桥，位于河北省赵县，净跨度37.02m，

是世界上著名的单孔空腹式石拱桥，建于595--605年

创设情景，圆【进行新课】

方程在实际中问题1：初中对圆的定义？（平面内到一定点的距离等于定长的点的应用。

的轨迹称为圆）

问题2：

确定圆的几何条件？(圆心和半径)

问题3：求曲线方程的一般步骤是什么？

求曲线方程的一般步骤为：

(1)建系设点：建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点

M的坐标；

(2)列式：写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}；

小组合作探究，如何求圆(3)代换：用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0；

的方程，并展示讨论结果

(4)化简：化方程f(x，y)=0为最简形式；

教师引导

(5)证明：化简后的方程就是所求曲线的方程．其中步骤(1)(3)(4)学生讨论回答

必不可少．

二、讲授新课

(一)建立圆的标准方程

（1）建系设点：设C(a，b)、半径r，圆上任意一点M坐标为(x，

y)．

（2）列式：根据定义，圆就是集合P={M||CM|=r}．

（3）代换：由两点间的距离公式得：

|CM|(xa)2(yb)2r

学生讨论不一定会全面，可(4）化简：将上式两边平方得：

(x-a)2+(y-b)2=r2以组内补充或 (1) 小组间补充，圆C上任意一点M的坐标(x,y)适合方程；并且如果平面上一充分调动学生点M的坐标(x,y)适合方程，可得|CM|=r，则点M在圆C上，因此的主观能动性

方程(1)就是以C(a，b)

为圆心、r为半径的圆的方程，我们把它

叫做圆的标准方程。

特殊地：1.若圆心在原点时，圆的方程是：

x2+y2=r2

2.圆心、半径、圆上点，知二者求第三变量；

3.坐标系内任意一点M

0(x0,y0)与圆的位置关系

|CM|r,即(x针对本节课的0a)2(y0b)2r2(点在圆内)|r,即(x(y

知识点进行巩|CM2220a)0b)r(点在圆上)固训练

|CM|r,即(x0a)2(y0b)2r2(点在圆外)

知识应用与解题研究

例1：指出下列方程中圆的圆心坐标和半径

(1)x2y25(2)x2(y2)29

(3)(x3)2y22(4)(x2)2(y1)23

考察问题：已知圆的标准方程，会求圆的圆心坐标和半径

(解：二)(1)圆心：(0,0)；半径：

5(2)圆心：(0,2)；半径：3

(3)圆心：(-3,0)；半径：2(4)圆心：(-2,)1；半径：

3例2.已知圆的方程为(x2)2(y3)216，

试判断A(4,5),B(7,3),C(2,1)是不是圆上的点。

考察问题：坐标系内任意一点与圆的位置关系

解：A在圆内 B在圆外 C在圆上

例3:根据已知求圆的方程

(1)圆心在点C(2,1),并过点A(2,2)

(2)圆心在点C(1,3),并与直线3x4y60相切

(3)过点(0,1)和点(2,1)，半径为5

分析：圆心和半径是圆的两要素，因此只要确定圆心坐标和半径就可以写出圆的方程。

解：(1)所求圆的半径

r=|CA|=(2+2)2(2-1)25

因为圆的圆心为(-2,1),所以所求圆的方程为

(x+2)2(y1)225

(2)因为直线3x4y60是所求圆的切线，所以圆心(1,3)

到这条直线的距离等于半径，

根据点到直线的距离公式，

有 r=|31-43-6|

32423,所求圆的方程为 (x-1)2(y3)29

(3)设圆心坐标为(a,b)，则圆的方程为 (x-a)2(yb)25

已知圆过点(01,),(21,)，代入圆的方程，得

22a(1b)5a11a21

(2a)2(1b)25解得：b11b23

所求圆的方程为(x-1)2(y1)25或(x-1)2(y3)25

例4.求过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l：2x7y80上的

圆的方程。揭示本节课的地位与作用，4让学生初步建l2立解析几何的A概念，学会数-5m5形结合思想的-2CB应用

-4

-6

分析：由题意得，圆心在线段AB的垂直平分线m上，又在直线l上，所以圆心是直线m与l的交点，将直线l和m的方程联立，解方程组，可以求出圆心坐标，再由圆心和圆上一点的坐标可以求出圆的半径。5-0解法1：直线AB的斜率

k=11-6 所以AB的垂直平分线m的斜率为1，75 AB的中点（，）22 因此，直线m的方程为x-y-1=0 又圆心在直线l上所以圆心是直线m与l的交点，

x-y-1=0x3

2x-7y+8=0y2 所以圆心坐标为(3,2),又半径r=|CA|=13， 则所求圆的方程是(x-3)2(y2)213解法2：设所求圆的方程为：(x-a)2(yb)2r2又A(6,0),B(1,5)在圆上，且圆心在2x-7y+8=0上，解a、b、r进而求得圆的方程 (x-3)2(y2)213例5：赵州桥的跨度是37.02m，圆拱高约为7.2m，求这座桥的拱

圆方程（精确到0.01m）最后自编一首打油诗对本节课做一总结

几何问题代数化

数形结合行天下

点线面化坐标点

解析帮你攻克它

【教学反思】

从实际问题导入新课，有助于激发学生学习兴趣。通过课堂学生小组的讨论探究得出圆的标准方程，可以充分发挥学生的主体作用。在讨论过程过教师适当给予点拨，发挥教师的主导地位；注重知识落实和重点的突破，通过小组探究，问答等多种形式让学生得到实际训练，因而效果会不错的。在学生、教师、课本的对话中，落实了“三维目标”，彰显了同学们的个性，达到了教学效果。

不足：在小组讨论过程中，可能对部分同学关注度不够，对有些问题的讨论时间把握不够。