特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值第二课时教学设计

28．1锐角三角函数

第2课时

余弦函数和正切函数

1．理解余弦、正切的概念；(重点)

2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．(重点)

一、情境导入

教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义？

学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？

二、合作探究

探究点一：余弦函数和正切函数的定义

【类型一】

利用余弦的定义求三角函数值

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA＝(

) 551212A.

B.

C.

D.

1312135AC12解析：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴cosA＝＝.故选C.

AB13方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”

第2题

【类型二】

利用正切的定义求三角函数值

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝(

)

34A.

B.

5534C.

D.

43解析：在直角△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴tanA＝BC4＝.故选D.

AB3方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．

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变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”

第5题

探究点二：三角函数的增减性

【类型一】

判断三角形函数的增减性

随着锐角α的增大，cosα的值(

) A．增大

B．减小

C．不变

D．不确定

解析：当角度在0°～90°之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选B.

方法总结：当0°＜α＜90°时，cosα的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．

【类型二】

比较三角函数的大小

sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是(

) A．tan70°＜cos70°＜sin70°

B．cos70°＜tan70°＜sin70°

C．sin70°＜cos70°＜tan70°

D．cos70°＜sin70°＜tan70°

解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°.故选D.

方法总结：当角度在0°≤∠A≤90°之间变化时，0≤sinA≤1，0≤cosA≤1，tanA≥0. 探究点三：求三角函数值

【类型一】

三角函数与圆的综合

如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD. (1)求证：DC＝BC；

(2)若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．

︵︵解析：(1)连接OC，求证DC＝BC可以先证明∠CAD＝∠BAC，进而证明DC＝BC；(2)由AB＝5，AC＝4，可根据勾股定理得到BC＝3，易证△ACE∽△ABC，可以求出CE、DE的长，在Rt△CDE中根据三角函数的定义就可以求出tan∠DCE的值．

(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°.∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠OCE＝90°，∴OC∥AE，∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BAC，︵︵∴DC＝BC.∴DC＝BC；

(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AB2－AC2＝52－42＝3.∵∠CAEECACEC412＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC，∴＝，即＝，EC＝.∵BCAB3559129ED5332－（）2＝，∴tan∠DCE＝＝＝. 55EC1245DC＝BC＝3，∴ED＝DC2－CE2＝

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方法总结：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等．利用圆的有关性质，寻找或构造直角三角形来求三角函数值，遇到比较复杂的问题时，可通过全等或相似将线段进行转化．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”

第5题

【类型二】

利用三角形的边角关系求三角函数值

3

如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求4sinC的值．

3解析：根据tan∠BAD＝，求得BD的长．在直角△ACD中由勾股定理可求AC的长，4然后利用正弦的定义求解．

BD33解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD＝＝，∴BD＝AD·tan∠BAD＝12×＝9，∴CDAD44AD12＝BC－BD＝14－9＝5，∴AC＝AD2＋CD2＝122＋52＝13，∴sinC＝＝. AC13方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题

三、板书设计

1．余弦函数的定义；

2．正切函数的定义；

3．锐角三角函数的增减性．

在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识.

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