利用平均数、中位数、众数、方差等解决问题优秀教学设计

第六章

数据的分析

6.4．《数据的离散程度》教学设计（第2课时）

一、内容与内容解析

（一）

本课数学内容

本课数学内容为北师版《义务教育教科书·数学》八年级上册，6.4《数据的离散程度》

（二）内容解析

在信息技术不断发展的社会里，常常需要对大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择与判断。数据是信息的重要载体，因此，关于数据的收集、整理与分析的统计学成为一个重要的数学分支。学生在七年级已经学习了数据收集、整理和描述，八年级进一步学习数据进行分析，进而作出判断和预测，形成用数据说话的习惯，发展数据分析观念和数据分析处理能力。

刻画一组数据的两个常用指标是集中趋势与离散程度。《6.4数据的离散程度》是在学习了刻画一组数据集中趋势的统计量，即平均数、加权平均数、中位数、众数，并能根据不同的背景要求，选择适当的统计量，刻画数据的集中趋势，形成多角度认识数据集中趋势的意识和能力的基础上，学习又一刻画一组数据离散程度的统计量，即极差、方差、标准差，通过第1课时的学习，学生理解极差、方差和标准差的概念，并能进行了一些计算和应用。本课时在第1课时的基础上，在实际问题的解决过程中，更为全面地理解方差及其在现实生活中的应用，进一步认识数据离散程度的意义和影响，从而能从离散程度对数据进行全面、具体的分析，形成一定的解决问题的能力。

二、目标与目标解析

（一）目标

基于对教学内容的思考，将本节课的教学目标设置为：

1、进一步理解极差、方差、标准差的求法，会用极差、方差、标准差对实际问题做出判断。

2、经历从统计图中获取信息，进行数据离散程度的分析的过程，提高估算能力和数据处理能力。

3、在解决实际问题中，更为全面理解方差及其在现实生活中的应用，进一步认识数据离散程度的意义和影响，发展数据分析观念。

（二）目标解析

1、通过提供不同实际背景材料，进一步体会极差、方差、标准差在现实生活中的意义和广泛应2、经历从统计图中获取信息，进行数据离散程度的分析数据的过程，掌握先直观估计极差、方差的方法，再理性计算，提高估算能力和数据处理能力。

3、在解决实际问题的过程中，理解方差不是越小越好，应具体问题具体分析，进一步认识数据离散程度的意义和影响，能用数学的眼光看世界，发展数据分析观念。

重点：从统计图中获取信息，进行数据离散程度的分析；全面理解方差及其在现实生活中的存在和应用；

难点：方差（标准差）的应用应视具体情况具体分析；从统计图中估计数据的离散程度。

三、教学问题诊断分析

在七年级的统计课程学习中，学生经历了大量的统计活动，感受到了数据收集、整理和描述的必要性，并已经有了初步的统计意识。在本章的前3节中，学生已经掌握了用平均数、中位数、

1 用，熟练掌握求法，会用极差、方差、标准差对实际问题做出判断。

众数刻画数据的集中趋势，而且在本节第一课时的学习中，学生已经接触了极差、方差与标准差的概念，并进行了简单的应用，但对这些概念的理解很单一，认为方差越小越好，为此，对一些实际问题的辨析，使学生对这三个统计量有一个更深刻的认识，全面地理解方差及应视具体情况分析方差对决策的影响。另外，学生虽然已经能从统计图中获取信息，但从统计图中获取信息，分析数据的离散程度有一定困难，为此可以从方差（标准差）的含义入手，先直观估计，掌握直观估算的方法再理性计算。

四、教学支持条件分析

根据问题诊断分析和学生学习行为的分析，制定了如下教学策略：

1、复习基础策略

数学学习是具有连续性的，这种连续性很大程度上体现在数学学习过程中知识的联系。在教学中教师必须关注学生学习新知识所具备的知识基础，使新知识建构在原有知识的基础上。平均数、极差、方差、标准差的含义和求法是学习本节课所需的知识基础，在（一）复习引入，这一环节中进行复习巩固，唤醒学生已有知识和经验，有利于新知的建构，同时有利于基础知识薄弱学生查缺补漏，缩小学生学习新知识所需要掌握的基础知识程度差异，从而提高学习效率。

2、先行组织者教学策略

在教学中，引导学生类比平均数有时候不能代表一组数的平均水平，引出用方差分析数据的离散程度时也要具体问题具体分析；引导学生类比从统计图获取信息分析数据的集中趋势，引出从统计图获取信息分析数据的离散程度。使本课教学内容在学生的思维过程中自然地生长出来，让学生的学习既是原有经验的迁移，又是在原有知识上“再创造”的过程。既突出了重点，也突破了难点。

3、自主学习策略

在教学中，营造一种能充分沟通、合作和支持的课堂环境，构建“学习共同体”。教师通过创设一定的教学情境，提出问题，采用自主学习和小组合作学习相结合、课前预习和课上探究、展示相结合的学习方式，引导学生思考、讨论、交流、帮助，教师对所有学生抱有信心鼓励每一个学生自由地、大胆地参与探索与交流，把学习还给学生。

4、信息技术使用

充分利用信息技术，把学习内容直观呈现，特别是利用信息技术直观从统计图中获取信息，特别是把条形统计图转换为散点图，有利于理解估计方差的方法和感受数据的离散程度。

五、教学过程设计

（一）复习引入

1、计算数据1,1,4,4,4,7,7.统计量，并对他们进行分类。

s2

一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定.

1nx1xx2x...xnx2222、随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：x甲13，

2

x乙13， S2甲3.6， S2乙15.8

，

则小麦长势比较整齐的试验田是 。

用方差分析数据的离散程度（稳定性）的步骤——解题模型（板演）

（1）求平均数 （2）求方差 （3）做出判断或决策

3、这节课继续学习6.4．数据的离散程度（第2课时），你们想学习什么呢? 设计意图：（1）复习极差、方差、标准差等概念及计算，巩固、深化学生对刻画数据离散程度的三个统计量尤其是方差的理解，特别是对学习基础比较薄弱的学生再现、巩固已有的知识，提高课堂教学效率；（2）通过复习归纳解题模型，有利于学生在原有认知结构的基础上进一步深化方差的理解和应用，为知识的综合运用做好铺垫；（3）让学生思考这节课想学什么，唤起学生已有的学习经验和学习路径（数据的集中趋势），引导学生学会学习。

（二）问题探究

活动1：试一试：（教师引导，学生自主完成）

如图是某一天A、B两地气温变化图。

（1）不进行计算，说说A、B两地气温的特点？

（2）分别计算A、B两地气温的平均数和方差，与你刚才的看法一致吗？

气温/℃气温/℃25232119171515252321191715159

A地

9131721时刻

131721时刻B地

设计意图：通过两地气温的变化的例子，学生根据已有的估计平均数的经验，引导学生从图表中读取信息，探索估计极差、方差的方法，进而先直观估计，再理性计算，体会图的直观性和计算的精准性，理解方差及其在现实生活中的应用。

活动2：议一议：（教师引导，学生自主完成）

我们知道，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，那么，是不是方差越小就表示这组数据越好呢？

我们通过实例来探讨。（仔细默读一遍题，然后开始做题3分钟）

某校从甲、乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生运动会跳远比赛，该校预先对这两名选手测试了10次，测试成绩如下表：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 B地

10 选手甲的成绩（cm）

585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 选手乙的成绩（cm）

613 618 580 574 618 593 585 590 598 624

3

（1）甲、乙的平均成绩分别是多少？

（1）甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？

（3）这两名运动员的运动成绩各有什么特点？

（4）历届比赛表明，成绩达到596cm就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？

（5）如果历届比赛表明，成绩达到610cm就能打破记录，你认为为了打破记录应选谁参加这项比赛？

设计意图：针对不少同学认为的方差越小越好的错误认识，课本设计了一个现实生活中的例子，旨在消除学生的这种不正确的看法，从而认识到要针对具体情况来分析方差对于问题的影响，体会同样的数据可以有多种分析方法，需要根据实际需要，选择恰当的方法分析数据，解决问题。让学生体会到看看任何事物都要全面地看，一分为二看问题。对于第（3）（4）（5）题的回答则有不同的意见，先经学生小组讨论分析后，再统一认识。

活动3：做一做（课前准备，课上展示）：

（1）两人一组，在安静的环境中，一人估计1min的时间，另一人记下实际时间，将结果记录下来。

（2）在吵闹的环境中，再做一次这样的实验。

（3）将全班课前收集的数据汇总起来，分别计算安静状态和吵闹环境下估计结果的平均值和方差。

（4）两种情况下的结果是否一致，说说你的理由。

设计意图：到这节课为止，初中统计部分学完了，通过活动3，让我们又一次经历了统计的全过程，即：数据的收集、整理、描述及数据的分析，核心是数据的分析。本活动力图让学生再经历一次数据的收集、整理、描述和分析的全过程，对统计全过程有整体的认识和掌握，同时体会数据的波动是广泛的，体会环境对人心理状态的影响，培养学生的数感和估算能力，形成用数据说话的习惯。

（三）巩固提高（由学生自主完成）：

1. 甲、乙、丙三人的射击成绩如图所示：

请回答：三人中，谁射击成绩更好，谁更稳定？

你是怎么判断的？

环数108642012345678910次数甲乙丙设计意图：进一步探索通过折线统计图估计方差的方法；并通过计算验证估算的方法，在此基础上对甲、乙、丙谁的成绩更好、谁更稳定作出判断，从而深刻体会和理解方差越小，数据越稳定，但不是方差越小这组数据就越好。比较三组数据的成绩和稳定性是对比较两组数据比较的变式，学生各自的观点在讨论后达成一致，同时学生体会到图形更直观，计算更精准。

2、(1)从下面两幅图中，你能分别读出甲、乙两队员射击成绩的平均数吗？

4次数甲队员的射击成绩乙队员的射击成绩64丙队员的射击成绩次数4321次数

32106环7环8环9环10环成绩206环4 7环8环9环10环成绩06环7环8环9环10环成绩

（2）通过估计比较甲、乙两队员射击成绩的方差的大小？说说你的估计过程。

（3）分别计算甲、乙两队员射击成绩的方差，看看刚才自己的估计是否正确。

（4）丙队员的射击成绩如右图，判断三人射击成绩的方差的大小。

设计意图：在现实生活中，数据经常是以统计图的形式呈现的。通过问题（1）从统计图分析数据的集中趋势，自然地引导学生通统计图（折线统计图、条形统计图）中分析数据的离散程度；通过紧扣方差的意义借助在折线统计图估计方差的方法，寻找条形统计图中估计方差的方法，问题（2）方法不唯一，除直接从条形统计图中估计方差，还可以借助信息技术，将条形统计图转化为散点图，帮助学生理解估计方差的方法，进而突破难点；问题（3）通过计算进一步验证了估算的方法的正确性，培养学生从图表中读取信息和估算能力；问题（4）是对从条形统计图中估算方差方法的进一步拓展，可以理解丙是对甲的变式。

3、从统计图中比较两组数据的稳定性，你有哪些经验，与同伴交流。

设计意图：归纳出一般结论：离平均值“近”的数据多，方差较小；离平均值“远”的数据多，方差较大。

（四）课堂小结

1、你对方差的大小有什么新的认识？

2、从统计图中估计方差的大小你有什么经验？

3、生活中数据的离散是广泛存在的吗？

用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。

（五）达标检测（附页）

（六）布置作业

1.阅读课本P151“读一读”，并利用计算机上Excel软件求平均数、中位数和众数。

2.课本习题6.6的第1，2，3题。

板书设计

6.4数据的离散程度（2）

解题模型：

1

、求平均数

1、文字、表格 折线图 离平均值“近

”数多，方差小 2、求方差 2、统计图 条形图 离平均值“远

”数多，方差大

1、方差越小，越稳定

3、做出判断或决策 2、方差越小，不一定越好

s2

1nx1xx2x...xnx2225