8、圆锥的体积练习PPT配套教学设计内容

技巧——想像——直观

——《圆柱和圆锥的体积练习》教学实录

江苏省扬州市邗江区运西小学

赵飞 【教学目标】熟练运用体积公式进行逆运算；经历解决问题的三个过程，使不同的学生有不同的收获，发展学生的数学思考力。

【教学过程】

一、课前谈话，说说练习感受

【板书课题: 圆柱和圆锥的体积练习】

师：今天我们上一节练习课。对于练***家有什么感受？

生：反复练习，太烦；缺少挑战，没有意思。

师：今天这节课我们只练3道题，争取练出技巧、练出思想。

二、回顾旧知，揭示研究内容

1、课件演示圆锥体积推导过程

师：从这个动态演示中我们得出了什么结论？

生：圆柱和圆锥等底等高时，圆锥体积是圆柱体积的3

，圆柱体积是圆锥体积的3倍。

【画出图形并板书：底

高

体积

】

（相等）

（相等）

3倍、3

2、提出新问题，引发猜想

师：如果圆柱和圆锥等体积等高（或等底）时，它们的底面积（或高）有什么关系？或者，三个量中已知两个量的比的关系，另一种量有什么关系？今天我们就研究这些问题。

【板书：底

高

体积

】

？

（相等）

（相等）

（相等）

？

（相等）

三、展开练习，经历三个过程

1、“技巧”的缺憾

出示题①：圆柱和圆锥等体积等底面积，圆柱的高与圆锥的高的比是（

）：（

）。

师：该题中体积与底面积不以具体的数量出现，而是以它们之间的关系出现，大家会解答吗？（会）打算如何解答？

生：用假设法。

生：用符合题意的数假设体积与底面积，并用公式分别计算出高，就可以比较高的关系了。

学生独立尝试解答，并汇报。

课件出示：根据“体积相等、底面积相等”

假设：圆柱和圆锥的体积都是1cm3，底面积都是1cm2。

因为 1÷1=1（cm ）……圆柱的高

1÷

÷1=3（cm ）……圆锥的高

所以

圆柱的高与圆锥的高的比是1:3。

师：看得懂这位同学的解答过程吗？谁来说说看？

1指名解释思路，师板书两个计算公式：V柱=sh

V锥=3

sh 1

1113

小结：先假设体积和底面积为具体的数，再根据以上两个公式进行逆运算，分别求出两个高，就可以求得两个高之间的关系了。【板书：假设】

出示题②：圆柱和圆锥的体积相等，高也相等。圆柱的底面积是18平方厘米，圆锥的底面积是（ ）平方厘米。

学生运用假设法解答，并汇报。

根据“体积相等、高相等”

假设：圆柱和圆锥的体积都是1cm3，高都是1cm。

因为 1÷1=1（cm2）……圆柱的底面积

1÷

÷1=3（cm2）……圆锥的底面积

圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，

所以

圆锥的底面积是18×3=54（cm2）

师：题②与题①在解答上有什么不同？

生：题②要先得到关系，再根据关系求出具体的底面积，而题①不需要。

出示题③：圆柱和圆锥的底面积相等，体积比是6:1。圆锥的高是圆柱的高的（

）

。

学生运用假设法解答，并汇报（略）。

师：刚才，我们用假设法轻松解答了3道习题，你对“假设法”有什么想说的？

学生发言（略）

小结：先根据条件假设两个已知量，再运用圆柱和圆锥的体积公式计算出另一个未知量，就能得到未知量的关系。这种方法对于题①、题②这样的“提高题”，甚至对于题③这样的“思考题”也适用，是一把解决类似问题的“万能钥匙”。

【出示：

练习不能仅以问题解决为终极目标，应该在此基础上，发展能力，领悟数学的思想方法。——唐彩斌（浙江省特级教师）】

师：我们认为的好方法，在唐老师眼里却不值一提，他认为这只不过是“低水平的再熟练”。

（出示：低水平的再熟练）

2、“想像”的不足

师：那么，我们该何去何从呢？（学生陷入思考中）

师：又一位教师说过这样一句话——

出示：圆锥者，小圆柱也。

师：知道是谁说的吗？（不知道）

出示授课教师自己的名字（学生大笑）

师：圆锥者，如何就是小圆柱呢？(学生能够回答的，有两种方法，可以直接放手。但是，拍到什么程度就变成圆柱，需要下面的课件演示；需要搓到什么程度，没有课件演示了，这是需要的，不然不够严谨。变成细细的圆柱后，怎么就得知底面积缩小3倍的？需要解释说理。) 教师演示橡皮泥做成的圆锥，变成等底的圆柱。

师：你觉得从圆锥变成圆柱，什么不变？什么变了？

生：体积不变，底面积不变。高变了，圆锥的高缩小了3倍。

师：看一看，这个过程已经解答题几了？（题①）

师：这种方法是不是有点意外？（是）实际上，这就是课始的演示实验，我们再看一遍。

课件动画演示: 第一种情况：把圆锥容器装满水倒入圆柱容器一次。如果能撇开容器只看水（当然是不2

13（

）

现实的，只能隔着容器看里面的水），就会发现这个过程与把圆锥形橡皮泥变成等底的圆柱形橡皮泥一般无异。

第二种情况：反过来，把圆柱容器中的水（就是第一种操作中圆柱里的水，只有圆柱容1器容积的）倒入圆锥，刚好倒满。也撇开容器只看水，就会看到把圆柱“等积变形”成圆3锥的过程：体积不变，底面积不变，高“拉伸”成原来的3倍。

师：不操作，用想像的方法怎样思考题②？【板书：想像】

生：请同桌帮忙套着高，保持高不变，把它的底面用手搓小，让一部分橡皮泥到顶点处去。底面积就缩小了，圆柱的底面积与圆锥的底面积的比是1:3。

师：用想像的方法怎样思考题③？有困难吗？（为什么现在不用想像的方法了？不能仅仅说只有一个量相等的问题。关键在于1、2号题是等积变形，现在的体积不等，是不好操作的。）

生：题①、题②中圆柱和圆锥有两个量是相同的，题③中只有一个量是相同的，想像比较难。

3、“直观”的有效

师：那么，我们又该何去何从呢？（学生再次陷入思考）

【出示：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合万般好，隔离分家万事休！】

师：谁的诗？（华罗庚）大数学家在诗中提到了什么解题方法？【板书：画图】

师：什么样的圆柱和圆锥是我们最熟悉的？（等底等高）

教师和学生互动，共同画图。

第一种情况：圆柱和圆锥等底等高时，体积比是3:1，但是题目中体积比是6:1，说明假设等高是错误的（底面积不可以改动）。要想表示出体积比是6:1，就要把圆柱的高扩大2倍。所以圆锥高是圆柱高的

。

鼓励学生独立完成第二种情况。

第二种情况：圆柱和圆锥等底等高时，体积比是3:1，但是题目中体积比是6:1，说明假设等高是错误的（底面积不可以改动）。要想表示出体积比是6:1，也可以把圆锥的高缩小2倍（体积比就变为3:0.5，即6:1）。所以圆锥高是圆柱高的

。

师：以上画图是不是一次性就完工的？（不是）都是先从等底等高画起，再根据条件修改，直至完全符合题意为止。

4、学生自主出题练习（弹性环节）（特别要注意选取画图繁琐，而假设简单的题目，使学生体会到方法没有优劣，只是在具体题目中有优劣。）

四、全课小结，

组织学生回顾3种解题方法，并评价方法的优劣。

（注意从以下方面总结：1、知识方面（可以板书出结论）；2、方法选择方面；3、其他感受）

师指出：一道题目可以有几种方法；适合自己的方法才是最好的方法。

【出示结语：学会思考，是人的一生中最有价值的本钱。（赞可夫

）】

板书设计：

3

1212

圆柱和圆锥的体积练习

底

高

体积

假设

1（相等）

（相等）

3倍、3

想像

？

（相等）

（相等）

（相等）

？

（相等）

画图

4