2.3.1 圆的标准方程优质公开课教案

芜湖市第十二中学

校内公开课

普通高中课程标准实验教科书

人民教育出版社A版

数学

必修二

4.1.1 圆的标准方程

授课教师：张力胜

授课班级：高二（8）班

授课时间：2016年12月15日

教学设计

教师

张力胜 2016年 12月 15 日 (星期

四 ) 第 5 节课

芜湖市第

学校

教学课题

所用教材

十二中学

班级

高二（8）班

科目

数学

4.1.1圆的标准方程

教材名称：人教A版数学必修二

圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用。同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础。也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要地位，在许多实际问题中也有广泛的应用。

学生在初中的学习中已初步了解了圆的有关知识，本节将在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，在运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。

1、知识与技能：①掌握圆的标准方程；②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程；③利用圆的标准方程解决简单的实际问题。

2、过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决

问题的能力。

3、情感与态度：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教材分析

学情分析

教学目标

教学重点

教学难点

圆的标准方程的求法及其应用。

1、根据不同的已知条件求圆的标准方程；

2、选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。

1课时

教学用具

多媒体讲台、

黑板、粉笔、

课时安排

教学方法

讲授法

教案

教师活动

(一)生活中的数学

镜湖公园的步月桥是一座圆拱桥，桥洞为半径为5米的半圆。如果有一艘船想通过桥洞。这艘船水面上的部分可近似看成长方体，船的宽度为6米，水面上的高度为4米。这艘船可以安全通过桥洞吗？

在上一章的学习中，我们知道在直角坐标系中，直线可以用方程表示，通过方程可以研究直线的有关问题。在直角坐标系中，我们可以建立几何对象的方程，并通过方程研究几何对象。

桥洞我们可以将它抽象成半圆，回忆研究直线的过程，我们可以怎样建立坐标系？

船在水面上的部分的正视图可以抽象成长方形ABCD，满足怎样的条件，船能安全通过桥洞？

想要确定C点是否在圆上，我们又该如何定性定量的来研究？

复习回顾

问：平面几何中的“圆”是如何定义的？

圆的定义：平面内,与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆。

定点就是圆心,定长就是半径。

在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了。

（二）建构圆的标准方程

探索：圆心是C（a,b），半径是r的圆的方程。

学生活动

设计意图

设置情境引入课题

温故知新，在已有圆的概念上，为建构圆的标准方程做准备

根据圆的定义，用解析法建构圆的标准方程

对圆的标准方程教

学

过

程

及

内

容

思考生活中的数学问题，怎样建立坐标系用解析方法研究几何问题

回答问题，回忆平面几何中圆的概念

在教师的引特征分析

导下建构圆（1）圆的标准方程是一种形式定义，是关于变量的标准方程

x，y的二元二次方程，且为平方和的形式,方程

形式明确给出了圆心坐标（定位）和半径（定大

小）。

（2）确定圆的标准方程必须具备三个条件：a,b,r

（3）参数的几何意义: (a，b)表示圆心坐标, r表示圆的半径。

(4) 若圆心在坐标原点，则圆方程为

x²+y²=r²

（三）内化新知

试一试：

已知圆的标准方程，请说出圆心和半径。

(1)(x+1)²+(y-2)²=9

(2)(x-1)²+y²=6

(3)x²+y²=16

(4)(x+1)²+y²=a²(a≠0)

练一练：

根据已知条件，求圆的标准方程：

（1）

圆心在原点，半径是3；

回答问题

练习写出圆1的标准方程

（2）

圆心在(3,)，半径为5；

2（3）

经过点(5,1)，圆心在点(8,-3)。

探究：

思考1:

在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？

思考2:

在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？

思考回答三个问题

进行特征分析，强调

通过简单练习，让学生内化新的知识

从几何、代数两个角度引导学生判断、确定点与圆的位置关系

例1.判断点M(6,9),N(3,3),O(5,3)与圆

(x-5)²+(y-6)²=10的位置关系。

回答问题

如图所示我们可以将桥洞抽象成如图所示的半

圆，船体水面上部分的正视图为矩形ABCD，AB

为船的宽度6米，BC为船水面上的高度4米。

运用所学知识，数学建模解决实际问题

以半圆圆心为原点建立平面直角坐标系，

可设半圆方程为：x²+y²=5²

(y≥0)

若船能安全通过桥洞则点C 在半圆内或在半圆

上。由题意C (3,4)，|OC|=5≤5，所以船可以通过桥

洞。

例2:已知圆过点

A(2, -3)和B (-2, -5),若圆心在直线

L: x-2y-3=0上，试求圆的标准方程。

思考问题，学习待定系数法，几何法求圆的标准方程的方法

待定系数法：确定a,b,r

点与圆的位置关系的应用

培养学生数学建模的能力，善于从生活中发现数学，锻炼解决实际数学问题的能力

求圆的标准方程的基本方法：待定系数法，几何法

几何法：确定圆心和半径

例3.求过点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆的标准方程

课堂总结：

模仿例2，算出圆的标准方程

归纳总结本节课所学知识点及数学方法

作业：

考点解析练习篇70页至71页

4.1.1圆的标准方程

课堂训练巩固，掌握求过三点的圆的方法

形成知识体系

巩固深化

板书设计

1、圆的标准方程：(xa)(yb)r

2、点与圆的位置关系

（1）点在圆上，点在圆内，点在圆外

（2）判断：几何法，代数法

3、圆的标准方程求法

222（1）待定系数法

（2）几何法

教学反思

讲解点与圆的位置关系时可以速度快一点，带领学生总结出规律比让学生总结归纳效率更高，可以为后面讲解例3节约出来时间。例2、例3的几何法应该重点强调，可以讲解更细致些，让学生动手操作计算。待定系数法操作容易，计算量大可在讲解方法后让学生课后练习，在作业中布置计算任务效果会更好。课堂小结要坚持让学生归纳总结，形成知识体系，锻炼学生的归纳总结能力。