2.基本不等式优秀获奖教案

基本不等式

教学目的：

1学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理

2理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等

3．通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力

教学重点：均值定理证明

教学难点：等号成立条件

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式

异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b，c

2．不等式的性质：

定理1：如果a>b，那么bb．(对称性)

即：a>bbb 定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)

即a>b，b>ca>c 定理3：如果a>b，那么a+c>b+c．

即a>ba+c>b+c 推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则)

即a>b，

c>d

a+c>b+d．

定理4：如果a>b，且c>0，那么ac>bc；

如果a>b，且c<0，那么ac

推论1

如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法则) 推论2

若ab0,则anbn(nN且n1)

定理5

若ab0,则nanb(nN且n1)

二、讲解新课：

1．重要不等式：

如果a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取""号)

22

证明：a2b22ab(ab)2

当ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20,

所以，(ab)20，即(a2b2)2ab.

由上面的结论，我们又可得到

2．定理：如果a,b是正数，那么abab(当且仅当ab时取""号).

2证明：∵(a)2(b)22ab,

ab2ab，即abab2abab显然，当且仅当ab时,2ab为a,b的算术平均数，说明：ⅰ）我们称称ab为a,b的几何平均数，2因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

ⅱ）a2b22ab和ab2ab成立的条件是不同的：前者只要求DabaCD'bBa,b都是实数，而后者要求a,b都是正数

ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件

A3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”

以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么CDCACB，即CD这个圆的半径为2ab

ababab，其中当且，显然，它不小于CD，即22仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立

三、讲解范例：

例1

已知x,y都是正数，求证：

（1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2P;

（2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值证明：因为x,y都是正数，所以

12S.

4xyxy

2

（1）积xy为定值P时，有xyP

xy2P

2上式当xy时，取“=”号，因此，当xy时，和xy有最小值2P

（2）和x+y为定值S时，有xyS12,

xyS

24上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值12S

4说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

ⅰ）函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

ⅲ）等号成立条件必须存在

例2 已知：（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求证：xyab2

abxy分析：本题结论中，注意xyab与互为倒数，它们的积为1，可利用abxy公式a＋b≥2ab，但要注意条件a、b为正数故此题应从已知条件出发，经过变形，说明xyab与为正数开始证题

abxy证明：∵（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx）

∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx

∴ax－ay＋by－bx＞0 ∴（ax－bx）－（ay－by）＞0 ∴（a－b）（x－y）＞0，即a－b与x－y同号

∴xyab与均为正数

abxy∴xyabxyab＝2 2abxyabxyxyab时取“＝”号) abxy(当且仅当

∴xyab≥2

abxy点评：我们在运用重要不等式a＋b≥2ab时，只要求a、b为实数就可以了而运用定理：“22abab”时，必须使a、b满足同为正数本题通过对已2知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断xyab与是abxy正还是负，是我们今后解题中常用的方法

四、课堂练习：

1已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

分析：对于此类题目，选择定理：可求得结果

答案：∵a，b，c都是正数

abab（a＞0，b＞0）灵活变形，2∴a＋b≥2ab＞0；b＋c≥2bc＞0；c＋a≥2ac＞0 ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2bc·2ac＝８abc

即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

2已知x、y都是正数，求证：(1)yx≥2；

xy33(2)（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥８xy

分析：在运用定理：2233abab时，注意条件a、b均为正数，结合不等2式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形

答案：∵x，y都是正数，∴yx2233＞0，＞0，x＞0，y＞0，x＞0，y＞0 xy(1)xyxyxy2＝2即≥2

yxyxyx(2)x＋y≥2xy＞0；x＋y≥2222233x2y2＞0；x3＋y3≥2x3y3＞0 x2y2·2x3y3＝８x3y3

∴（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥2xy·2

即（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥８xy

223333ab2a2b23求证：（）≤

22分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：a＋b≥2ab，恰当变形，是证明本题的关键

2222222答案：∵a＋b≥2ab，∴2（a＋b）≥a＋b＋2ab＝（a＋b）

222∴2（a＋b）≥（a＋b）

不等式两边同除以4，得

22ab2ab2a2b2a2b2≥（），即（）≤

2222五、小结

：本节课，我们学习了重要不等式a＋b≥2ab；两正数a、b的算术平均数（22abab），几何平均数（ab）及它们的关系（≥ab）它们22成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具

六、课后作业：

(1)“a＋b≥2ab”是“a∈R，b∈R”的(B ) ＋＋A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件

(2)设b＞a＞0，且a＋b＝1，则此四个数Ab Ba＋b22

122，2ab，a＋b，b中最大的是(A ) 21Ｃ2ab D

2(3)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( B ) a2b2a2b2a2b2a2b2A1≤ab≤ Bab＜1＜ Cab＜＜1 D

＜ab＜1 2222(4)已知a，b∈R且a＋b＝4，则下列各式恒成立的是(B ) A＋111111 B≥1 Ｃab≥2 D2

2ab2ab4ab(5)若a＞b＞0，则下面不等式正确的是( C ) 2ababab2abab Bab

ab22ab2abab2abababC Dab

ab2ab2A(6)若a，b∈R且a≠b，在下列式子中，恒成立的个数为（D ）

①a＋3ab＞2b ②a＋b＞ab＋ab ③a＋b≥2（a－b－1） ④A4 B3

22５５322322ab＞2 ba

Ｃ2 D1 (7)设a，b，c是区间(0，1)内的三个互不相等的实数且p＝logcab，q＝2logcalogcb1ab，r＝logc，则p，q，r的大小关系是(C ) 222Ap＞q＞r Bp＜q＜r Cr＜P＜q Dp＜r＜q

x2y2(8)已知x＞y＞0，xy＝1，求证：≥22

xyx2y2(xy)22xy2证明：∵x＞y＞0，xy＝1 ∴

(xy)xyxyxyx2y22≥2(xy)＝22

，即≥22

xyxy(9)已知a＞2，求证：loga（a－1）·loga（a＋1）＜1

证明：∵a＞2 ∴loga(a－1)＞0,loga(a＋1)＞0,loga(a－1)≠loga(a＋1) ∴loga（a－1）·loga（a＋1）＜［＝［loga(a1)loga(a1)2］

2112222loga（a－1））＜（logaa）＝1 22即loga（a－1）·loga（a＋1）＜1

(10)已知a，b∈R，证明：log2（2＋2）≥证明：∵a，b∈R

∴log2（2＋2）≥log2（222）＝log2（2·2＝ababab2

2abab2）＝1＋ab

2ab2ab2ab,即log2（2＋2）≥

22(11)若a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1，

求证：＋1119

abbcca2证明：∵a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1 ∴2＝（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）

＋

∴［（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）］·（111）

abbcca≥3·(ab)(bc)(ca)×3·3111＝９

abbcca故1119

abbcca2(12)已知方程ax＋bx＋c＝0有一根x1＞0，求证：方程cx＋bx＋a＝0必有一根x2，使得x1＋x2≥2

2证明：∵方程ax＋bx＋c＝0有一根x1＞0 22∴ax1＋bx1＋c＝0,∴a＋2bc2＝0 x1x1∴c（12112）＋b·＋a＝0(方程cx＋bx＋a＝0必有一根＞0) x1x1x11≥2 x1∴x1＋x2＝x1＋2故方程cx＋bx＋a＝0必有一根x2，使得x1＋x2≥2

七、板书设计（略）

八、课后记：

基本不等式主要靠数形结合的思想理解，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。基本不等式主要解决求最值问题，要记住六字方针“一正二定三相等”