复习参考题优质课教学设计

概率与统计复习 1. 【2014课标Ⅰ，理18】

从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值x和样本方差s2（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；

2（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N,，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2. （i）利用该正态分布，求P187.8Z212.2；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间187.8,212.2的产品件数.利用（i）的结果，求EX. 2附：15012.2

若Z~N,则PZ0.6826，P2Z20.9544。

2. 【2015高考新课标1，理19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

y

w

6.8 x

46.6 56.3 (xx)ii182

(ww)ii182

(xx)(yy)

(ww)(yy)

iiiii1i188289.8 1.6 i1469 108.8 1表中wixi

，w

=8wi18

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

(ⅰ)年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

(ⅱ)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2)，……，(un,vn),其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

=(ui1nniu)(viv)，=vu

i(ui1u)2

3. 【2017新课标1，理19】（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2)．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；[来源:Zxxk.Com]

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04 10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95 116116116222xi9.97，s经计算得x(xx)(x16x)0.212，ii16i116i116i1其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2,,16．

ˆ，用样本标准差用样本平均数x作为的估计值s作为的估计值ˆ，利用估计ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据，值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(用剩下的数据估计和（精确到0.01）．

附：若随机变量Z服从正态分布N(,2)，则P(3Z3)0.997 4，0.997 4160.959 2，0.0080.09．

4. 【2013课标全国Ⅰ，理19】(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为件产品是否为优质品相互独立．

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．

5. 【2012全国，理18】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

日需求量n 频数

14

10

15

20

16

16

17

16

18

15

19

13

20 10 1，且各2以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．

6. 【2010新课标，理19】（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；[来源:Zxxk.Com]

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．

附：

P(K2≥k)

k 0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828 n(ad－bc)2K＝

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2

7. 【2016高考新课标理数1】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机

器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I）求X的分布列；

（II）若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？

8. 【2005全国1，理20】

9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用表示补种费用，写出的分布列并求的数学期望.（精确到0.01）

9 【2008全国1，理20】（本小题满分12分）[来源学。科。网Z。X。X。K]

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．

10. 【2006全国，理18】（本小题满分12分）

[来源学科网]

A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为21，服用B有效的概率为。

32（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率。

（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。

11.【2016高考新课标理数1】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I）求X的分布列；

（II）若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？

概率与统计复习 1. 【2014课标Ⅰ，理18】

从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值x和样本方差s2（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；

2（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N,，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2. （i）利用该正态分布，求P187.8Z212.2；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间187.8,212.2的产品件数.利用（i）的结果，求EX. 附：15012.2

2若Z~N,则PZ0.6826，P2Z20.9544。

（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间187.8,212.2的概率为0.6826，依题意知

XB(100,0.6826)，所以EX1000.682668.26．

【答案】（I）200,150；（II）（i）0.6826；（ii）68.26．

2. 【2015高考新课标1，理19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

y

w

6.8 x

46.6 56.3 (xx)ii182

(ww)ii182

(xx)(yy)

(ww)(yy)

iiiii1i188289.8 1.6 i1469 108.8 1表中wixi

，w

=8wi18

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

(ⅰ)年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

(ⅱ)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2)，……，(un,vn),其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

=(ui1nniu)(viv)，=vu

i(ui1u)2（Ⅱ）x的回归方程类型；【答案】（Ⅰ）ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用y100.668x（Ⅲ）46.24 试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用回归方程类型.

……2分

x的（Ⅱ）令wx，先建立y关于w的线性回归方程，由于d(ww)(yy)iii18(ww)ii18=2108.8=68，

16∴cydw=563-68×6.8=100.6. ∴y关于∴y关于w的线性回归方程为y100.668w，

x的回归方程为y100.668x.……6分

x=49时，年销售量y的预报值

（Ⅲ）(ⅰ)由（Ⅱ）知，当y100.66849=576.6，

z576.60.24966.32.

……9分

（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值

z0.2(100.668x)xx13.6x20.12，

∴当x=13.6=6.8，即x46.24时，z取得最大值. 2故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分

3. 【2017新课标1，理19】（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2)．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04 10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95 11611611622xi9.97，s经计算得x(xix)(xi16x2)0.212，其中16i116i116i1xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2,,16．

ˆ，用样本标准差用样本平均数x作为的估计值s作为的估计值ˆ，利用估计值判ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据，断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(用剩下的数据估计和（精确到0.01）．

附：若随机变量Z服从正态分布N(,2)，则P(3Z3)0.997 4，

0.997 4160.959 2，0.0080.09．

试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)之外的概率为0.0026，故X~B(16,0.0026).因此

P(X1)1P(X0)10.9974160.0408.

X的数学期望为EX160.00260.0416. （2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.学科网

ˆ0.212，由ˆ9.97，的估计值为（ii）由x9.97,s0.212，得的估计值为ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外，样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(因此需对当天的生产过程进行检查. ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数剔除(据9.22，剩下数据的平均数为

1(169.979.22)10.02，因此的估计值为10.02.15[来源学科网ZXXK]xi1162iˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据9.22，剩160.2122169.9721591.134，剔除(下数据的样本方差为1(1591.1349.2221510.022)0.008，

15因此的估计值为0.0080.09. 4. 【2013课标全国Ⅰ，理19】(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为产品是否为优质品相互独立．

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．

1，且各件2

(2)X可能的取值为400,500,800，并且

P(X＝400)＝1411111，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝. 161616164800 所以X的分布列为

X P 400

500

11

161

161

4EX＝4001111+500+800＝506.25.

161645. 【2012全国，理18】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

日需求量n 频数

14

10

15

20

16

16

17

16

18

15

19

13

20 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．

【解析】：(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80．

当日需求量n＜16时，利润y＝10n－80．

所以y关于n的函数解析式为

10n－80，n<16，

y＝(nN)．80，n16，(2)①X可能的取值为60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7．

X的分布列为

X P X的数学期望为

60

0.1

70

0.2

80 0.7

EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76．

X的方差为

DX＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44．

②答案一：

花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为

Y P Y的数学期望为

EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4．

Y的方差为

DY＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04．

由以上的计算结果可以看出，DX＜DY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．

另外，虽然EX＜EY，但两者相差不大．

故花店一天应购进16枝玫瑰花．

答案二：

花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为

Y P Y的数学期望为

EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4．

由以上的计算结果可以看出，EX＜EY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．

6 【2010新课标，理19】（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

55

0.1

65

0.2

75

0.16

85 0.54 55

0.1

65

0.2

75

0.16

85 0.54

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．

附：

P(K2≥k)

k 0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828 n(ad－bc)2K＝

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2

7.【2016高考新课标理数1】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（I）求X的分布列；

（II）若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？

【答案】（I）见解析；（II）19；（III）n19. 【解析】

试题分析：（I）先确定X的所有可能取值，然后求相应的概率，可得X的分布列；（II）通过概率大小进行比较；（III）分别求出n=19，n=20的期望，比较即可. 试题解析：（I）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而

P(X16)0.20.20.04；

P(X17)20.20.40.16；

P(X18)20.20.20.40.40.24；

P(X19)20.20.220.40.20.24；

P(X20)20.20.40.20.20.2；

P(X21)20.20.20.08；

P(X22)0.20.20.04. 所以X的分布列为

16 7 18 19 10 21 22 20.040.160.240.240.20.080.04（II）由（I）知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19.

8. 【2005全国1，理20】

9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用表示补种费用，写出的分布列并求的数学期望.（精确到0.01）

【解析】

3（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为(10.5)1，所以甲坑不需要补

8种的概率为

117.

883个坑都不需要补种的概率

170C3()()30.670,

88恰有1个坑需要补种的概率为

171C3()20.287,

88恰有2个坑需要补种的概率为

17C32()20.041,

883个坑都需要补种的概率为

173C3()3()00.002.

88补种费用的分布为



0 10 20 30

P 0.670 0.287 0.041 0.002 的数学期望为

E00.670100.287200.041300.0023.75

9. 【2008全国1，理20】（本小题满分12分）

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．

（Ⅱ）的可能取值为2，3。

32C4C432P(B1)331,P(B2)；

C5C5C35532,P(3)P(B2)

5532122.4（次）

∴E23555∴P(2)P(B1)

10. 【2006全国，理18】（本小题满分12分）

A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为21，服用B有效的概率为。

32[来源:Zxxk.Com]（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率。

（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。

所求的概率为

PP(B0A1)P(B0A2)P(B1A2)

141414494929

4.9（Ⅱ）的可能值为0,1,2,3且~B(3,).

495125P(0)()3，

9729451001P(1)C3()2，

992434580P(2)C32()2，

99243464P(3)()3

9729

的分布列为



P

0 1 2 3 1251008064

24324372972944数学期望E3.

9311.【答案】（I）见解析；（II）19；（III）n19. 试题解析：（I）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而

P(X16)0.20.20.04；

P(X17)20.20.40.16；

P(X18)20.20.20.40.40.24；

P(X19)20.20.220.40.20.24；

P(X20)20.20.40.20.20.2；

P(X21)20.20.20.08；

P(X22)0.20.20.04. （II）由（I）知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19.