三 反证法与放缩法教学目标

章节：课时：3

备课人；

殷晓青

4.5 课题名称

教学目标

教学重点

导入示标

自学探究，提炼新知

1.反证法概念

证明不等式时，首先假设要证的命题________，以此为出发点，结合__________，应用______、______、______、______等，进行正确的推理，得到和______(或____、______、_____等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．我们把它称之为________．

2．放缩法

证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_______，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为________．

新知自测：

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法可归结为下面的步骤：反设、归谬、存真．(

) (2)利用放缩法时，要依据需要适当放缩，不能过度．(

) (3)假设欲证的命题是“若A，则B”，我们可以通过否定A来达到肯定B的目的．(

) (4)放缩法的实质是等价转化，有一定的准则和程序．(

) 2．用反证法证明命题“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容是(

) 教学设计

A．3a＝3b

B．3a<3b

C．3a＝3b，且3a<3b

D．3a＝3b或3a<3b

2．用反证法证明命题“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容是(

) A．3a＝3b

B．3a<3b

C．3a＝3b，且3a<3b

D．3a＝3b n＋1123n3

44．设n∈N*，则有真分数不等式<<<…<<______；假分数不等式2>>>…>>______．

23423nn＋1或3a<3b 典例解析. 利用反证法证明不等式

已知0

【证明】

假设x(2－y)>1，y(2－z)>1，z(2－x)>1均成立，则三式相乘得xyz(2－x)(2－y)(2－z)>1.①

因为0

2.3 反证法与放缩法

学习目标

1.

了解反证法与放缩法.2. 会利用反证法与放缩法证明不等式.

核心素养目标

培养学生逻辑推理，数学运算核心素养

了解反证法与放缩法

教学难点

会利用反证法与放缩法证明不等式

所以0

同理，0

所以三式相乘得0

②与①矛盾，故假设不成立．

所以x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于1. 用反证法证明不等式的策略

(1)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．

(2)用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立．

跟踪训练：

1.已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证：a，b，c不成等差数列．

证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，

又三个正数a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac.

所以a＋c＋2ac＝4ac，即a＋c－2ac＝0，

所以(a－c)2＝0，所以a＝c，即a＝c.

从而a＝b＝c，这与已知中a，b，c不成等差数列矛盾，

所以原假设错误，故a，b，c不成等差数列．

πππ2．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少236有一个大于零

证明：假设a，b，c都不大于0，

即a≤0，b≤0，c≤0，

所以a＋b＋c≤0，而a＋b＋c

πππx2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋

＝236222＝(x－2x)＋(y－2y)＋(z－2z)＋π

＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，

所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，

故a，b，c中至少有一个大于0. 用放缩法证明不等式

2.已知a，b，c∈R，求证：a2＋ab＋b2＋b2＋bc＋c2≥a＋b＋c. b23222【证明】因为a＋ab＋b＝

a＋2＋4b，

b23222b＋bc＋c＝

c＋2＋4b，

b2bb22a＋＝a＋≥a＋.

所以a＋ab＋b≥

222b2bb22c＋＝c＋≥c＋.

b＋bc＋c≥

222所以a2＋ab＋b2＋b2＋bc＋c2≥a＋b＋c.

放缩法证明不等式的技巧

放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A

常用的放缩技巧有

(1)舍掉(加进)一些项．

(2)在分式中放大(缩小)分子(分母)．

(3)应用基本不等式进行放缩

x＋yxy

跟踪练习.设x>0，y>0，A＝，B＝＋，则A，B的大小关系为(

) 1＋x＋y1＋x1＋yA．A＝B

B．A

C．A≤B

D．A>B

x＋yxyxy解析：选B.因为x>0，y>0，所以B＝＋>＋＝＝A. 1＋x1＋y1＋x＋y1＋x＋y1＋x＋y（n＋1）22．已知n∈N＋，求证：1×2＋2×3＋…＋n（n＋1）<. 2n＋n＋12n＋1证明：由基本不等式，得n（n＋1）<＝，

222n＋13＋5＋…＋（2n＋1）n（n＋2）35所以1×2＋2×3＋…＋n（n＋1）<＋＋…＋＝＝2222222n＋2n（n＋1）＝<，故原不等式成立．

22311113. 求证：2－<1＋22＋…＋n2<2－n(n∈N＋且n≥2). n＋111111证明：因为－< 2

<－，将这些不等式相加得

nn＋1nn－1n1111111111111111－＋－＋…＋－< 2＋2＋…＋2

<1－＋－＋…＋－，即－< 2334nn＋123n2232n＋1n－1n11112＋2＋…＋2 < 1－

，

23nn111111所以1＋－< 1＋2＋2＋…＋2

<1＋1－，

2n＋123nn311111即－<1＋2＋2＋…＋2<2－(n∈N＋且n≥2)成立. 错误!

2n＋123nn归纳小结: 1．常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设

至少有一个

至多有一个

唯一一个

不是

不可能

全

有两个或两个没有或有两个一个也没有

是

有或存在

不全

以上

或两个以上

2.放缩法证明不等式的理论依据

(1)不等式的传递性．

(2)等量加不等量为不等量．

(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．

3．放缩法证明不等式常用的技巧

(1)增项或减项．

(2)在分式中增大或减小分子或分母．

a＋b(3)应用重要不等式放缩，如a2＋b2≥2ab，ab≤，

2a＋b2a＋b＋c3ab≤2，3≥abc(a，b，c>0)．

(4)利用函数的单调性等．

课时作业：

1＋x1＋y11111．求证：<＋＋…＋<1(n>1，n∈N＋)2．已知x>0，y>0，且x＋y>2，求证与2n＋1n＋22nyx中至少有一个小于2. abc0,abbcca0,abc0,

求证：a0,b0,c0.

2.已知a,b,c为实数，

变式反馈

(1a)b,(1b)c,(1c)a不能都大于 1.设0a,b,c1,证明：★2.

设x > 0, y > 0,a1.

4达标检测

xyxy, b，求证：a < b

1xy1x1y★3.设an1

4.求证：反思总结

课后练习

111,a2.求证：an2.

aaa3n2311111222(n≥2)

2n12nn1.知识建构

2.能力提高

3.课堂体验

同步练习