1.不等式的基本性质优秀导入

1.1.1不等式的性质

一、教学目标

1.理解实数大小与实数运算性质间的关系．

2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．

四、教学难点

理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．

五、教学过程

（一）导入新课

若1

∵－4

∴0≤|b|<4，

∴－4<－|b|≤0.

又1

∴－3

【答案】

(－3,3) （二）讲授新课

教材整理1

两实数的大小比较

a>b⇔a－b

0；a＝b⇔a－b＝0；a

<0. 教材整理2

不等式的基本性质

性质1

对称性

a>b⇔b

性质2

传递性

如果a>b，b>c，那么

可加性性质3

推论

[来源学§科§网Z§X§X§K]

如果a>b，那么a＋c>b＋c[来源:学_科_网][来源:学科网]

如果a>b，c>d，那么

>b＋d

1

可乘性

性质4

推论

如果a>b，c>0，那么

；

如果a>b，c<0，那么

如果a>b>0，c>d>0，那么

性质5

乘方性质

如果a>b>0，那么an

bn(n∈N，n≥2)

性质6

开方性质

nn如果a>b>0，那么a

b(n∈N，n≥2)

（三）重难点精讲

题型一、比较大小

例1设A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且x>3，试比较A与B的大小．

【精彩点拨】

转化为考察“两者之差与0”的大小关系．

【自主解答】

A－B＝x3＋3－3x2－x

＝x2(x－3)－(x－3)＝(x－3)(x＋1)(x－1)．

∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0，

∴x3＋3>3x2＋x. 故A>B. 规律总结：

转化转化1．本题的思维过程：直接判断(无法做到)――→考查差的符号(难以确定)――→考查积转化的符号――→考查积中各因式的符号．其中变形是关键，定号是目的．

2．在变形中，一般是变形变得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．

[再练一题] 1．若例1中改为“A＝22y2＋1y，B＝，其中x＞y＞0”，试比较A与B的大小．

2xx＋1y2＋1y2x2y2＋1－y2x2＋1x2－y2x－yx＋y【解】

因为A－B＝2－2＝＝22＝22，

22x＋1xxx＋1xx＋1xx＋1且x＞y＞0，所以x－y＞0，x＋y＞0，x2＞0，x2＋1＞1，

x－yx＋y所以22＞0.所以A2＞B2，又A＞0，B＞0，故有A＞B. xx＋1题型二、利用不等式的性质求范围

α＋βα－βππ例2已知－≤α＜β≤，求，的范围．

2222

2

α＋βα－βππαβ【精彩点拨】

由－≤α＜β≤可确定，的范围，进而确定，的范围．

222222ππ【自主解答】

∵－≤α＜β≤，

22παππβπ∴－≤＜，－＜≤，

424424πα＋βπ∴－＜＜. 222πβππβπ又－＜≤，∴－≤－＜，

424424πα－βπ∴－≤＜. 222α－β又∵α＜β，∴＜0，

2πα－β∴－≤＜0，

22即α＋βππα－βπ∈－2，2，∈－2，0. 22规律总结：

α－βαβ1．本例中由，的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而应转化为同向不等222式后作和求解．

2．求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．

[再练一题] a2．已知－6

∵－6

则a－b的取值范围是(－9,6)．

111又<<，

3b2a(1)当0≤a<8时，0≤<4；

ba(2)当－6

b

3

题型三、利用性质证明简单不等式

ab例3已知c>a>b>0，求证：>. c－ac－b【精彩点拨】

构造分母关系→构造分子关系→证明不等式

【自主解答】

∵a>b，∴－a<－b. 又c>a>b>0，

11∴0>0. c－ac－bab又∵a>b>0，∴>. c－ac－b规律总结：

1．在证明本例时，连续用到不等式的三个性质，一是不等式的乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又－a<－b，则0

2．进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，并仔细分析要证明不等式的结构，灵活运用性质，对不等式进行变换．

[再练一题] acbd3．已知a＞b＞0，c＞d＞0，求证：＞. a＋cb＋d【证明】

∵a＞b＞0，c＞d＞0，

11∴＞＞0，

ba11＞＞0，

dc1111①＋②得＋＞＋＞0，

bdac即b＋da＋cacbd＞＞0，∴＞. bdaca＋cb＋d①

②

题型四、不等式的基本性质

例4判断下列命题是否正确，并说明理由．

(1)若a>b，则ac2>bc2；

ab(2)若2>2，则a>b；

cc11(3)若a>b，ab≠0，则<；

ab(4)若a>b，c>d，则ac>bd. 【精彩点拨】

主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否满足性质所需要的条

4

件．

【自主解答】

(1)错误．当c＝0时不成立．

ab(2)正确．∵c2≠0且c2>0，在2>2两边同乘以c2，

cc∴a>b. 11(3)错误．a>b⇒<成立的条件是ab>0. ab(4)错误．a>b，c>d⇒ac>bd，当a，b，c，d为正数时成立．

规律总结：

1．在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选取使用不等式的性质．有时往往举反例，否定命题的结论．但要注意取值一定要遵循两个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．

2．运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭空想象随意捏造性质．

[再练一题] 4．判断下列命题的真假．

11(1)若a；

ab(2)若|a|>b，则a2>b2；

(3)若a>b>c，则a|c|>b|c 1【解】

(1)∵a0，∴>0，

ab1111∴a·

ababba(2)∵|a|>b，取a＝1，b＝－3，但a2

(3)取a>b，c＝0，有a|c|＝b|c|＝0，∴(3)是假命题．

（四）归纳小结

（五）随堂检测

5

1．设a∈R，则下面式子正确的是(

) A．3a>2ª

B．a2<2a

1C.

aD.3－2a>1－2a

【答案】

D 112．已知m，n∈R，则＞成立的一个充要条件是(

) mnA．m＞0＞n

B．n＞m＞0 C．m＜n＜0 D.mn(m－n)＜0 n－m1111【解析】

∵＞⇔－＞0⇔＞0⇔mn(n－m)＞0⇔mn(m－n)＜0. mnmnmn【答案】

D 3．已知a，b，c均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是(

) a①a＜b＜0⇒a2＜b2；②＜c⇒a＜bc；

bb③ac2＞bc2⇒a＞b；④a＜b＜0⇒＜1. aA．0

B．1

C．2

D．3 【解析】

①不正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，

∴(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2. a②不正确．∵＜c，若b＜0，则a＞bc. b③正确．∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴a＞b. b④正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴1＞＞0. a【答案】

C 六、板书设计

1.1.1不等式的性质

教材整理1

两实数的大小比较

教材整理2

不等式的基本性质

例3：

例4：

6 例1：

例2：

学生板演练习

七、作业布置

同步练习：1.1.1不等式的性质

八、教学反思

7