3.三个正数的算术-几何平均不等式名师教学视频（文字实录）

1.1.3 三个正数的算术几何平均数

银川九中

周正宏

一、教学目标

1．探索并了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明过程．

2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．

3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．

四、教学难点

会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．

五、教学过程

（一）导入新课

已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. 【证明】

因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥

333xy2>0,1＋x2＋y≥3x2y>0，

33故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3xy2·3x2y＝9xy. （二）讲授新课

教材整理1

三个正数的算术-几何平均不等式

1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c33abc，当且仅当时，等号成立．

a＋b＋c32．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么abc，当且仅当时，等号成立．

3即三个正数的算术平均它们的几何平均．

教材整理2

基本不等式的推广

对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均它们的几何平均，即na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

教材整理3

利用基本不等式求最值

若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么时，积abc有值；②如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和有最小值．

a1＋a2＋…＋ann

（三）重难点精讲

题型一、证明简单的不等式

11122＋2＋2(a＋b＋c)≥27.

例1 设a，b，c为正数，求证：abc3【精彩点拨】

根据不等式的结构特点，运用a＋b＋c≥3abc，结合不等式的性质证明．

【自主解答】

∵a>0，b>0，c>0，

3∴a＋b＋c≥3abc>0，

3从而(a＋b＋c)2≥9a2b2c2>0. 11131又2＋2＋2≥3222>0，

abcabc11122＋2＋2(a＋b＋c)

∴abc≥331abc9222·3a2b2c2＝27，

当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

规律总结：

1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a>0，b>0. (2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．

2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．

11133＋3＋3(a＋b＋c)≥81.

[再练一题]1．设a，b，c为正数，求证：abc【证明】

因为a，b，c为正数，

11131113所以有3＋3＋3≥3＞0. 3·3·3＝abcabcabc3又(a＋b＋c)3≥(3abc)3＝27abc＞0，

11133＋3＋3(a＋b＋c)≥81，

∴abc当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

题型二、用平均不等式求解实际问题

例2如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知识，

桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而sin θ和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k2.这里k是一个和灯光强度有关的常r数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？

sin θ【精彩点拨】

根据题设条件建立r与θ的关系式，将它代入E＝k2，得到以θ为r自变量，E为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值．

【自主解答】

∵r＝2，

cos θπsin θcos2θ0<θ<. ∴E＝k·24k2∴E＝·sin2θ·cos4θ

162k2＝(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ

32222k22sinθ＋cosθ＋cosθ3k2≤323＝108，

当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，

12即tan2θ＝，tan θ＝时，等号成立．

22∴h＝2tan θ＝2，即h＝2时，E最大．

因此选择灯的高度为2米时，才能使桌子边缘处最亮．

规律总结：

sin θcos2θ1．本题的关键是在获得了E＝k·后，对E的函数关系式进行变形求得E的最4大值．

2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．

[再练一题]

π2．制造容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米302元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？

【解】

设圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，则底面积为πr2平方米，侧面积为2πrh平方米．

设用料成本为y元，则y＝30πr2＋40πrh. ππ1∵桶的容积为，∴πr2h＝，∴rh＝. 222r112033r2＋＋≥10π×33，

∴y＝30πr2＋π＝10πrrr1当且仅当3r2＝时，

r399即r＝时等号成立，此时h＝. 32399故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为米，高为米．

32当且仅当2x2＝1－x2，

即x＝3时等号成立．

3332323∴y≤，∴y的最大值为. 99题型三、利用平均不等式求最值

例3已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．

【精彩点拨】

为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)1＝2x2(1－x2)(1－x2)×，求出最值后再开方．

2【自主解答】

∵y＝x(1－x2)，

∴y2＝x2(1－x2)2

1＝2x2(1－x2)(1－x2)·. 2∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，

322212x＋1－x＋1－x4∴y≤＝. 23272规律总结：

1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑：

311x＋2－2x＋1＋x1y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝·x(2－2x)·(1＋x)≤223＝2. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x＝2－2x＝1＋x无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．

2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时也要注意算术-几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可．

[再练一题]3．若2a＞b＞0，试求a＋4的最小值. 2a－bb2a－b＋b44【解】

a＋＝＋

22a－bb2a－bb＝2a－bb4＋＋

222a－bb32a－bb4≥3···＝3，

222a－bb2a－bb4当且仅当＝＝，

222a－bb即a＝b＝2时取等号．

所以当a＝b＝2时，

4a＋有最小值为3. 2a－bb（四）归纳小结

平均不等式——利用平均不等式求最值—利用平均不等式证明—平均不等式的理解（五）随堂检测

1．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为(

) 33A．36

B．22

C．12

D．125 【解析】

∵x＋2y＋3z＝6，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z

3＋＋3≥32x·22y·23z＝32x2y3z＝12. 2当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，z＝时，等号成立．

3【答案】

C

12．若a＞b＞0，则a＋的最小值为(

) ba－bA．0

B．1

C．2

D.3 3111【解析】

∵a＋＝(a－b)＋b＋≥3a－b·b·＝3，当且仅当a＝ba－bba－bba－b12，b＝1时取等号，∴a＋的最小值为3.故选D. ba－b【答案】

D 3．函数y＝4sin2x·cos x的最大值为________，最小值为________．

【解析】

∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x

＝8(sin2x·sin2x·2cos2x) sinx＋sinx＋2cosx3≤83

864＝8×＝，

272764∴y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，

27即tan x＝±2时取等号．

∴ymax＝883，ymin＝－3. 99883

－3 99222【答案】

六、板书设计

1.1.3 三个正数的算术几何平均数

教材整理1

三个正数的算术-几何平均不等式

教材整理2

基本不等式的推广

教材整理3

利用基本不等式求最值

七、作业布置

同步练习：1.1.3 三个正数的算术几何平均数

八、教学反思

例2：

例3：

学生板演练习

例1：