1.3 二项式定理（通用）教学目标

1.3.1二项式定理教学设计

厦门市禾山中学 李小梅

一、教学目标

1.知识与技能

（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广。

（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理组合思想证明二项式定理。

（3）能够将简单的二项式展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并能求出指定项。

2.过程与方法

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及转化与化归的能力，体会从特殊到一般的思维方式。

3.情感、态度与价值观

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造的过程，体会数学语言的简洁和严谨。

二、教学重点、难点

教学重点：用计数原理和组合思想分析(ab)、(ab)的展开式，进而得到二项式定理，能应用它解决一些简单问题。

教学难点：用组合思想分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。

34三、教学手段[来源:Zxxk.Com]

制作多媒体课件，以增加课堂容量，提高学生的兴趣。

四、教学过程

（一）提出问题，引入课题

（1）多项式乘法的再认识

问题1.(a1+a2)(b1+b2)的展开式有哪几项？

每一项是怎样构成的？

问题2.(a1+a2)(b1+b2)(c1+c2)的展开式有几项？

每一项是怎样构成的？

规律: 每个括号内任取一个字母相乘构成了展开式中的每一项。

【设计意图】体会多项式乘法计算过程,利用组合原理加深对因式展开的理解，为下面分析(a+b)3的展开作铺垫。

(2)（提问）：我们知道(a+b)=(a+b)×(a+b)=a+2ab+b，那你能写出(ab)3、222(ab)4甚至是(a+b)n的展开式吗？

【设计意图】在这里设计了层层递进多项式展开问题，目的是为了激发学生的求知欲，产生认知冲突，从而引入课题。

（二）引导探究，发现规律

探究1：通过组合思想来分析(a+b)3的展开式，(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)展开后

【问题1】：有几项？

【问题2】：展开式中各项字母的形式是什么？

【问题3】：展开式中项的次数是什么？

①项的形式为：

a3,a2b,ab2,b3②项的系数，考虑b的取法，

300a3：每个都不取b的情况有1种，即C 种，则a前的系数为

C3321a2b：恰有1个取b的情况有 C3C1种，则ab前的系数为

32ab2：恰有2个取b的情况有 C32C2种，则ab前的系数为

333a3：恰有3个取的情况有 种，则a3前的系数为 ，

C3C30312233所以：

(ab)3C3aC3abC3ab2C3b探究2：仿照上述过程，请你推导(ab)的展开式。 4(ab)C4aC4abC4abC4abC4b得到：

探究3：请分析(a+b)

的展开过程，证明猜想。

【问题4】(ab)的展开式又是怎样的呢？

n404132223344n引导学生回答：可以对b分类：取0个b,取1个b,取2个b,…,取k个b,…,取n个b 将这n1个式子相加，可得二项式定理 0n1n11knkknn

(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)．【设计意图】让学生通过特例去观察相同之处与不同之处，通过仿照(ab)，(ab)n34展开式的探究方法，由学生类比得出(ab)的展开式。二项式的定理的证明采用“说理”

的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析、概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示展开式。

（三）形成定理，剖析概念

0n1n11knkknn二项式定理：(ab)nCn

aCnabCnabCnb(nN*)．（四）二项式定理的公式特征：

（1）项数：共有n1项；

（2）各项次数：各项的次数都等于n；

（3）各项中a、b的幂排列：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．

knkk2、二项展开式的通项：式中的Cnab叫做二项展开式的通项，用Tk1表示．

knkk即通项为展开的第k1项，Tk1Cnab．（a、b的位置不能对换）

012knk3、二项式系数：依次为Cn这里Cn，Cn，Cn，，Cn，，Cn，(k0，1，2，，n)称为二项式系数．（注意：二项式系数与项的系数的区别）

（ab）的展开式

公式的变形：用-b代替b，写出【设计意图】对定理的特点加以说明，可使学生能熟练掌握定理的特点，以便今后在应用定理解决问题时能得心应手。

n（四）应用定理，熟悉新知

1例1.求1的展开式。

x例2.求(2x514)的展开式。

x思考1：展开式的第4项的二项式系数是多少？

思考2：展开式的第4项的系数是多少？

思考3：你能否直接求出展开式的第4项？

思考4：你能写出展开式的通项吗？（进一步问你能知道展开式中x的系数是多少吗？常数项呢？）

【设计意图】例1、例2目的在于对定理中字母a、b所表示的数或式的领会及提高运用定理的能力，熟悉二项展开式，培养学生的运算能力；从思考1与思考2中体会项的系数

与二项式系数的区别；思考3思考4是对通项的应用。

2即学即用：在3x的展开式中，求：

x（五）求第5项的二项式系数；

（六）求展开式中x-4的系数. 例3：已知在(3x(1)求n；

(2)求展开式中所有的有理项。

注：有理项：展开式中x的指数恰好都是整数的项

【设计意图】变式、例3目的在于让学生进一步掌握利用通项求二项展开式中的特定项。

例4.化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1。

练习：(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1) 【设计意图】二项式定理的逆用。

8123x)n的展开式中，第6项为常数项，

（五）课堂小结

（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）

0n1n11knkknn1、公式：(ab)nCn

aCnabCnabCnb(nN*)．2、思想方法：（1）从特殊到一般的思维方式；（2）用组合思想分析二项式的展开过程．

五、板书设计

1.3.1二项式定理

0n1n1rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)例题1 变式

例题2 例题3 (1)项：二项展开式共有n1项；

(2)次数：各项的次数都等于n；

字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n k(3)二项式系数：Cn(k{0,1,2,,n})

knkk(4)二项展开式的通项：Tk1=Cnab