3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计与反思

复数代数形式的乘除运算教学设计

学习目标

1.理解复数的代数形式的四则运算,并能用运算律进行复数的四则运算.

2.能根据所给运算的形式选择恰当的方法进行复数的四则运算.

两个多项式可以进行乘除法运算,例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;对于两个复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),能像多项式一样进行乘除法运算吗?

导学：

问题1:结合多项式乘法运算的特点,说明复数乘法运算有哪些特点?

(1)复数的乘法与多项式的乘法类似,只是在运算过程中把i换成

,然后实部、虚部分别合并;

2(2)两个复数的积仍是一个复数;

(3)复数的乘法与实数的乘法一样,满足交换律、结合律及分配律;

(4)在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立.

问题2:什么是共轭复数? 一般地,当两个复数的

时,这两个复数叫作互为共轭复数.

问题3:怎样进行复数除法运算?

复数的除法首先是写成分数的形式,再利用两个互为共轭复数的积是一个实数,将分母化为实数,从而化成一个具体的复数.

问题4:复数的四种基本运算法则

(1)加法:(a+bi)+(c+di)=

;

(2)减法:(a+bi)-(c+di)=

;

(3)乘法:(a+bi)(c+di)=

;

(4)除法:(a+bi)÷(c+di)= =

(c+di≠0).

练习

1.i是虚数单位,复数z= 的虚部是(

-

).

C.1

D.2 A.0

B.-1

A.第一象限

C.第三象限

B.第二象限

D.第四象限

22.复数z1=3+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面内的对应点位于(

).

3.已知复数z与(z+2)-8i均是纯虚数,则z=

.

4.设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i为虚数单位),试求z的实部.

练一

复数代数形式的乘法运算

计算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i);

(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;

(3)(4-i)(6+2i)+(7+i)(4-3i)

5711(4)(1-i).

3

1

练二

复数代数形式的除法运算

计算:(1)(1+2i)÷(3-4i);

(2) - - - -

4

;

(3)(+i)+

-

.

练三

复数四则运算的综合应用

已知|z|+(z+

)i=2

(i 为虚数单位),试求满足条件的z.

应用一

计算:(1)(1-i);

2(2)(-+i)(+i)(1+i).

应用二

计算:

(1)(2)

应用三

若关于x

的方程x+(t+3t+tx)i=0有纯虚数根,求实数t的值和该方程的根.

22 - ;

- +.

-

= =1.

(法二)原式=

= =1.

(3)原式=[(+i)]+22

-

-

=(-

+

i)2-

=-

-

i+

i-

=(-

-

)+(

-

)i.

【小结】进行复数的运算,除了应用四则运算法则之外,对于一些简单算式要知道其结果,这样可方便计算,简化运算过程,比如=-i,(1+i)=2i,(1-i)=-2i,22

=i,=-i,a+bi=i(b-ai),=i,等等.

- 运算方法要灵活,有时要巧妙运用相应实数系中的乘法公式,比如第(2)题中的解法一.

2

探究三:【解析】原方程化简为|z|2+(z+

)i=1-i,

设z=x+yi(x,y∈R),代入上述方程得x+y+2xi=1-i,

22

∴

∴

∴原方程的解为z=-

±

i.

【小结】对于此类复数方程我们一般是设出复数的代数形式z=x+yi(x,y∈R),然后将其代入给定方程,利用复数四则运算将其整理,然后利用复数相等的充要条件来求解.

思维拓展应用

应用一:(1)(1-i)2=1-2i+i2=-2i. (2)(-

+

i)(

+

i)(1+i)

=[(-

-

)

+(

-

)i](1+i)

=(-

+

i)(1+i)

=(-

-

)+(

-

)i =-

+

i.

应用二:(1) - =

= = - -

=

= =1-i. (2)

- +

- = - -

- + =i-i=0.

3