二 综合法与分析法教学设计实例

综合法与分析法

目的要求：掌握证明不等式的基本的解法之----综合法和分析法。

重点难点：

掌握综合法和分析法各自的使用情景

教学设计：

(一)综合法

一、概念：

在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的性质、基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明的结论.这种从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法.又叫顺推证法或由因导果法. 用综合法证明不等式的逻辑关系

AB1B2BnB

(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)二、范例分析：

例1 已知a,b,c0,且不全相等,求证a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

证明: b2c22bc,a0,a(b2c2)2abc

c2a22ac,b0,b(c2a2)2abc

a2b22ab,c0,c(a2b2)2abc由于a,b,c不全相等,所以上述三个式子中至少有一个不取等号,把它们相加得a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

例2 已知a1,a2,,anR,且a1a2an1,求证(1a1)(1a2)(1an)2n证明: a1R,1a12a1,同理1a22a2,,1an2ana1,a2,,anR,由不等式的性质,得(1a1)(1a2)(1an)2na1a2an2n.,ai1时,1ai2ai取等号所以原式在a1a2an1时取等号.

（二）分析法

一、概念

从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系：

BB1B2BnA

已

结 (步步寻求不等式论 成立的充分条件) 知

用分析法证“若A则B”这个命题的模式是: 为了证明命题B为真,

只需证明命题B1为真,从而有……

只需证明命题B2为真,从而有……

……

只需证明命题A为真. 而已知A为真,故B必真. 二、范例分析：

例3 求证2736证明: 27和36都是正数,所以要证2736,只需证(27)2(36)2,展开得92149218,只需证1418,只需证1418,1418成立,所以2736成立.a2b2b2c2c2a2例4 已知a,b,c0,求证abcabc分析:要证的不等式可化为a2b2b2c2c2a2abc(abc)观察上式,左边各项是两个字母的平方之积,右边各项涉及三个字2222母,可以考虑用x(yz)2xyz

证明: bc2bc,a0,a(bc)2abc2222222

ca2ac,b0,b(ca)2bac2b22ab,c20,c2(a2b2)2c2ab

aa2b2b2c2c2a2)2a2bc2b2ac2c2ab

2(a2b2b2c2c2a2abc(abc)

1又a,b,c0,abc0,0

abc

,a2b2b2c2c2a2故abc

abc

(三)、小结：

解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。

(四)、练习：

11、已知x0,求证：x2.

x2222222

2、已知x0,y0,xy,求证114.

xyxy3、已知ab0,求证abab.

4、已知a0,b0.求证：

（1）(ab)(a1b1)4.

（2）

(ab)(a2b2)(a3b3)8a3b3.

5、已知a,b,c,d都是正数。求证：

（1）abcdabcd4abcd;

（2）abcd.

246、已知a,b,c都是互不相等的正数，求证(abc)(abbcca)9abc.

(五)、作业：