1.3 二项式定理（通用）第一课时导学案

1.3.1《二项式定理》教案

【学习目标

】

1. 能从特殊到一般理解二项式定理；

2. 熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项；

3. 能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念. 【学习重点】归纳二项式定理及二项式定理的应用. 【学习难点】二项式定理的发现.

【学法指导】利用从特殊到一般的思想方法，观察、归纳、大胆猜想、证明从而得出二项式定理.

【学习过程】

一、

情景设置：

问题一：今天是星期五，那么7天后的这一天是星期几呢? 问题二：如果是15天后的这一天呢？ 问题三：那再过8100

天后的那一天是星期几呢？该如何解决？

旧知设疑

公式： (ab)1 ab (ab)2= a22abb2 (ab)3= a33a2b3ab2b3 4223b4ab

b请写出：(ab)=

a44a3b6a

53234b10a2b5ab

b

(ab)=

a55a4b10a思考：

（1）展开式中的项数与乘方指数的关系？

（2）字母的次数及排列方式？ (3 ) 展开式中各项的系数？

试一试：展开(ab)7= ？？

思考：如何展开 (ab)100 以及(ab)n 呢？杨辉三角还能解决么？

猜想：(ab) = ? ?

二、新课导学

探究：

二项式定理

活动一：观察(ab)的展开式,若把(ab)写成(ab)(ab)

探究：用组合的思想如何得到a，ab，b？其系数与组合数有何关系？

提示：1.(ab)的展开式第一项a即a×a，这两个a分别从(ab)(ab)中0的两个括号来，有 C2

种选法

22n2222

12.展开式第二项2ab中的b可以从哪个括号中来？有 C2

种选法；

23.最后一项b即b×b，这两个b分别从(ab)(ab)中的两个括号来，有_ C2

种2020111202选法;那么，(ab)2= C2abC2abC2ab （系数用组合数表示）

活动二：观察(ab)3的展开式,若把(ab)3写成(ab)(ab)(ab)

探究：用组合的思想如何得到a3，a2b，ab2，b3？其系数与组合数有何关系？

提示：

1.(ab)3的展开式第一项a3即a×a×a，这三个a分别从(ab)(ab)(ab)0中的三个括号来，有 C3

种选法；

12.展开式第二项3a2b中的b可以从(ab)(ab)(ab)中哪个括号中来？有_C32_种选法，3ab中b确定后，a只能从剩余两个括号中取出；

23.展开式第三项3ab中的b可以从(ab)(ab)(ab)中哪个括号中来？有__C32_ 种选法，此项3ab2

中b确定后，a只能从剩余一个括号中取出；

4.最后一项b3即b×b×b，这三个b分别从(ab)(ab)(ab)中的三个括号来，3有___C3_种选法.那么(ab)3=

030121212303C3abC3abC3abC3ab

（系数用组合数表示）

请仿照以上两个实例的分析方法尝试从组合数角度写出(ab)的展开式及(ab)展开式

45040131222313404(ab)4= C4abC4abC4abC4abC4ab

050141232323414505(ab)5= C5abC5abC5abC5abC5abC5ab

n0n1n1knkknn*(ab)CaCabCabCb(nN)猜想：

nnnn

二项式定理

(ab)CnaCnan0n1n1knkknnbCnabCnb(nN*)

nN上述公式叫做二项式定理（binomial theorem），右边的多项式叫做(ab)的二项展开式,n

kknkk共有___n1 项,其中各项的系数___Cn 叫做二项式系数,式中的_Cnab______叫做二项展开式的通项，它是展开式的第

k1

项，用

Tk1

表示，即

思考：(1) 各项的次数与二项式的次数n有什么关系？

（2）每一项中，字母a，b的指数有什么变化趋势？

（3）如何确定“a”、“b”的系数？

三、典型例题

（2x例1：1xn）的展开式共7项，

（1）n等于多少？

（2）求展开式. （分析：求二项展开式，可以直接使用公式求解，但当二项式比较复杂时，可以先化简后再展开.）

变式1：例1中展开式的第2项是多少？

变式2：你能否直接求出展开式的第2项？

变式3：展开式的第二项的二项式系数是多少？

变式4：展开式的第二项的系数是多少？

反思：二项式系数与项的系数的区别？

例2：已知(x1221x)n的展开式中，第9项为常数项；

求：（1）n的值；

5 （2）展开式中x项的系数；

（3）含x的整数幂的项的个数。

练习：（1）求 (2xy)6 展开式中第三项的系数。

（2）求 (y2x)6 展开式中含

x5y

的系数。

1（3）

求x展开式中x3的系数。

x

四、能力提升：

今天是星期五，那么8100天后的这一天是星期几呢？你能否用今天所学知识解决？

五、学习小结: 今天我学到了什么：

1．知识方面：二项式定理的推导及其应用；

2．思想方法：特殊到一般的思想，观察、归纳、类比、猜想；

3．易混点：二项式系数与各项系数的区别；

六 作业布置：

课本36页

习题1.3 A组

1、3、4（1）（2）5

9