二 用数学归纳法证明不等式教学实录与评析

二

用数学归纳法证明不等式举例

1.掌握用数学归纳法证明不等式的常用方法与技巧．

2.理解贝努利不等式．

3．能综合运用数学归纳法与数列、三角函数等知识进行不等式的证明．

,

[学生用书P57])

1．数学归纳法证明不等式

(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤

①证明：当n取第一个值n0时结论成立；

②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立．

由①②可知命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

(2)用数学归纳法证明不等式的重点

用数学归纳法证明不等式的重点在第二步(同时也是难点所在)，即假设f(k)>g(k)成立，证明f(k＋1)>g(k＋1)成立．

2．贝努利不等式

(1)定义：如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>1＋nx．

(2)贝努利不等式的一般形式

①当α是实数，并且满足α>1或α<0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)；

②当α是实数，并且满足0<α<1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x>－1)．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) ＋＋(1)用数学归纳法证明“2n1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”，第一步的验证为211≥12＋1＋2.(

) (2)设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n<1＋nx.(

) 111125(3)用数学归纳法证明不等式“＋＋＋…＋>”，当n＝1时，不等n＋1n＋2n＋33n＋124111式左边的项为＋＋.(

) 234答案：(1)√

(2)×

(3)√

2．用数学归纳法证明不等式1时不等式左边应(

) 1A．增加了一项

2（k＋1）11B．增加了两项＋

2k＋12k＋21C．增加了B中两项但减少了一项

k＋1D．以上各种情况均不对

答案：C 11111＋＋…＋>的过程中，由n＝k递推到n＝k＋2n24n＋1n＋2

11113．用数学归纳法证明：1＋2＋2＋…＋(n≥2，n∈N＋)时第一步n2<2－n23（2－1）2－1需要证明(

) 1A．1<2－

2－111B．1＋2<2－2

22－1111C．1＋2＋2<2－2

232－11111D．1＋2＋2＋2<2－2

2342－1答案：C 1114．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋n1)”时，由n＝k(k>1)不等式232－1成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．

1解析：左边的特点：分母逐项增加1，末项为n；

2－1111由n＝k，末项为k到n＝k＋1，末项为k＋1＝k，

2－12－12－1＋2k所以应增加的项数为2k.

答案：2k

用数学归纳法证明有关函数中的不等关系[学生用书P58] xn－xnn2－1

已知f(x)＝n－n.对于n∈N＋，试比较f(2)与2的大小并说明理由．

x＋xn＋1－xn－xn【解】

据题意f(x)＝n－n

x＋x－x2n－12＝2n＝1－2n，

x＋1x＋12所以f(2)＝1－n，

2＋1n2－12又2＝1－2，

n＋1n＋1n2－1所以要比较f(2)与2的大小，只需比较2n与n2的大小即可，

n＋1当n＝1时，21＝2>12＝1，

当n＝2时，22＝4＝22，

当n＝3时，23＝8<32＝9，

当n＝4时，24＝16＝42，

当n＝5时，25＝32>52＝25，

当n＝6时，26＝64>62＝36.

故猜测当n≥5(n∈N＋)时，

2n>n2，下面用数学归纳法加以证明．

(1)当n＝5时，命题显然成立．

(2)假设n＝k(k≥5，且k∈N＋)时，不等式成立．

即2k>k2(k≥5)，则当n＝k＋1时，

＋2k1＝2·2k>2·k2

＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1

＝(k＋1)2＋(k－1)2－2>(k＋1)2，((k－1)2>2)

由(1)(2)可知，对一切n≥5，n∈N＋，2n>n2成立．

综上所述，当n＝1或n≥5时，

n2－1f(2)>2；

n＋1n2－1当n＝2或4时，f(2)＝2；

n＋1n2－1当n＝3时，f(2)<2. n＋1

利用数学归纳法解决比较大小问题的方法

利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立．

1

已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．试比3较1111＋＋＋…＋与1的大小，并说明理由．

1＋a11＋a21＋a31＋an1111解：＋＋＋…＋<1.

1＋a11＋a21＋a31＋an理由如下：

因为f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，

所以an＋1≥(an＋1)2－1.

因为函数g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在区间[－1，＋∞)上单调递增，

所以由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，

进而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1，

由此猜想：an≥2n－1.

下面用数学归纳法证明这个猜想：

①当n＝1时，a1≥21－1＝1，猜想成立；

②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立，

即ak≥2k－1，则当n＝k＋1时，

由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，

＋ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k1－1，

即n＝k＋1时，猜想也成立．

由①，②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1，

即1＋an≥2n.

11所以≤n.

1＋an2

1n11111111所以＋＋＋…＋≤＋2＋3＋…＋n＝1－2<1. 21＋a11＋a21＋a31＋an222

用数学归纳法证明数列不等式[学生用书P59]

已知{an}是等差数列，首项a1＝3，前n项和为Sn，令cn＝(－1)nSn(n∈N*)，{cn}的前20项和T20＝330.数列{bn}是公比为q的等比数列，前n项和为Wn，且b1＝2，q3＝a9. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式；

(2)证明：(3n＋1)Wn≥nWn＋1(n∈N＋)．

【解】

(1)设等差数列{an}的公差为d，

因为cn＝(－1)nSn，

所以T20＝－S1＋S2－S3＋S4－…＋S20＝330.

则a2＋a4＋a6＋…＋a20＝330.

10×9则10(3＋d)＋×2d＝330，

2解得d＝3，

所以an＝3＋3(n－1)＝3n，

所以q3＝a9＝27，q＝3，

－所以bn＝2×3n1.

2（1－3n）n(2)证明：由(1)知，Wn＝＝3－1，

1－3要证(3n＋1)Wn≥nWn＋1，

＋只需证(3n＋1)(3n－1)≥n(3n1－1)，

即证3n≥2n＋1.

当n＝1时，3n＝2n＋1.

下面用数学归纳法证明：当n≥2时，3n>2n＋1.

①当n＝2时，左边＝9，右边＝5，左边>右边，不等式成立．

②假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时，3k>2k＋1，

则n＝k＋1时，

＋3k1＝3×3k>3(2k＋1)＝6k＋3>2(k＋1)＋1，

所以n＝k＋1时不等式成立．

根据①②可知：当n≥2时，3n>2n＋1.

综上可知，3n≥2n＋1对于n∈N*成立，

所以(3n＋1)Wn≥nWn＋1(n∈N*)．

利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为了满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难点一是要仔细观察题目结构，二是要用分析法找到放缩的结果，才能顺利地证题．

1

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．

21(1)判断S是否为等差数列，并证明你的结论；

n1122(2)证明S2(n≥1且n∈N＋)．

1＋S2＋…＋Sn≤－24n

1解：(1)S是等差数列，证明如下：

n11S1＝a1＝，所以＝2.

2S1当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，

即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.

11所以－＝2.

SnSn－11故S是以2为首项，2为公差的等差数列．

n111(2)证明：①当n＝1时，S2，

1＝＝－424×1不等式成立．

②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，

1122即S21＋S2＋…＋Sk≤－成立，

24k则当n＝k＋1时，

111222S2＋S＋…＋S＋S≤－＋

＋12kk124k4（k＋1）21111＝－k－（k＋1）2

24211k＋k＋1＝－·

24k（k＋1）2k2＋k1111<－·.

2＝－24k（k＋1）24（k＋1）即当n＝k＋1时，不等式成立．

由①，②可知对任意n∈N＋不等式都成立．

1．关于用数学归纳法证明不等式的四点注意

(1)在从n＝k到n＝k＋1的过程中，应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征．

(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，从中分离出n＝k时的相应式子，借助不等式性质用上归纳假设．

(3)明确用上归纳假设后要证明的不等式应是怎样的，然后通过运用放缩法、分析法、比较法、综合法等方法进行证明．

(4)有些不等式先用分析法转化为另一个较为简单的不等式然后再用数学归纳法证明．

2．关于贝努利不等式

(1)(1＋x)n>1＋nx成立的两个条件：①n∈N＋且n≥2；②x的取值范围是x>－1且x≠0. 于是有命题：当n∈N＋且n≥2时不等式(1＋x)n>1＋nx对一切x∈(－1，0)∪(0，＋∞)恒成立．

(2)常用特例：①当x>－1且x≠0时，(1＋x)2>1＋2x；

②当x>－1且x≠0时，(1＋x)3>1＋3x.

【规范解答】

归纳——猜想——证明

＋

(本题满分12分)设f(n)＝nn1，g(n)＝(n＋1)n，n∈N＋. (1)当n＝1，2，3，4时，比较f(n)与g(n)的大小；

(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．

＋＋【解】

(1)当n＝1时，nn1＝1，(n＋1)n＝2，此时，nn1<(n＋1)n，

＋＋当n＝2时，nn1＝8，(n＋1)n＝9，此时，nn1<(n＋1)n，

＋＋当n＝3时，nn1＝81，(n＋1)n＝64，此时，nn1>(n＋1)n，

＋＋当n＝4时，nn1＝1 024，(n＋1)n＝625，此时，nn1>(n＋1)n.(2分)

＋(2)根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，nn1>(n＋1)n(n∈N*)恒成立．(4分)

证明如下：

＋①当n＝3时，nn1＝34＝81>(n＋1)n＝43＝64，

＋即nn1>(n＋1)n成立．(5分)

②假设当n＝k(k≥3，k∈N＋)时，kk＋1kk1>(k＋1)成立，即>1，(6分)

（k＋1）k＋k＋＋kk＋1k＋1k＋1（k＋1）k2kk1则当n＝k＋1时，k＋2>(k＋1)·＋＝(k＋1)·k＋1＝（k＋1）k>1，(10（k＋2）k1分)

即(k＋1)k2>(k＋2)k1成立，即当n＝k＋1时不等式也成立，(11分)

＋所以当n≥3时，nn1>(n＋1)n(n∈N＋)恒成立．(12分) ＋＋

归纳—猜想—证明的思想方法

数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中．一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察—归纳—猜想—证明”的思想方法．

1．用数学归纳法证明：

11111＋2＋2＋…＋2<2－(n≥2，n∈N)．

23nn1513证明：①当n＝2时，1＋2＝<2－＝，不等式成立．

2422②假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立，

1111即1＋2＋2＋…＋2<2－，

23kk当n＝k＋1时，

11111＋2＋2＋…＋2＋

23k（k＋1）21111<2－＋

2<2－＋k（k＋1）kk（k＋1）

111＝2－＋－

kkk＋11＝2－，即当n＝k＋1时，不等式也成立．

k＋1由①②知原不等式在n≥2且n∈N时均成立．

111－m2．已知m，n为正整数，对于n≥6，已知1－n＋3<，利用贝努利不等式求证：2n＋3nn1<2，m＝1，2，…，n. 1m1－证明：当n≥6，m≤n时，由贝努利不等式得≥1－>0，

n＋3n＋3m111于是1－n＋3≤1－n＋3＝1－n＋3<2，m＝1，2，…，n. nmnnmmmm,

[学生用书P60])

[A

基础达标] 1111271．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋n－1>成立时，起始值n0至少应取(

) 24642A．7

C．9

B．8 D．10 111111127解析：选B.1＋＋＋＋＋＋＝，n－1＝6，n＝7，故n0＝8. 248163264641113572．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，23n222观察上述结果，可推测出的一般结论为(

) 2n＋1A．f(2n)>(n＞1，n∈N*) 2n＋2B．f(n2)>(n＞1，n∈N*) 2n＋2C．f(2n)>(n＞1，n∈N*) 2D．以上都不对

2＋23解析：选C.f(2)＝，f(4)＝f(22)>，

22f(8)＝f(23)>3＋24＋2，f(16)＝f(24)>，

225＋2f(32)＝f(25)>，…，

2n＋2依此类推可知f(2n)>(n＞1，n∈N*)．

211111131113．观察下列不等式：1>，1＋＋>1，1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，1＋22323722315

1115＋＋…＋>，…，由此猜测第n(n∈N＋)个不等式为(

) 23312111n－1A．1＋＋＋…＋n>

2322111nB．1＋＋＋…＋>

232n－12111nC．1＋＋＋…＋n>

232－12111nD．1＋＋＋…＋n－1>

2322解析：选C.因为1，3，7，15，31，…的通项公式为an＝2n－1，

111所以不等式左边应是1＋＋＋…＋n.

232－1135n因为，1，，2，，…的通项公式为bn＝，

2222n所以不等式右边应是. 24．设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．

那么下列命题总成立的是(

) A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立

B．若f(5)≥25成立，则当k<5时，均有f(k)≥k2成立

C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)

D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立

解析：选D.由“f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，因此，对于A，k＝1，2时不一定成立，对于B，C，显然错误．对于D，因为f(4)＝25>42，因此对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立．

5．对于正整数n，下列说法不正确的是(

) A．3n≥1＋2n

B．0.9n≥1－0.1n

C．0.9n<1－0.1n

D．0.1n≥1－0.9n

解析：选C.结合贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx(x>－1，且x≠0，n≥1，n∈N＋)判断．

当x＝2时，(1＋2)n≥1＋2n，A正确．

当x＝－0.1时，(1－0.1)n≥1－0.1n，

B正确，C不正确．

当x＝－0.9时，(1－0.9)n≥1－0.9n，

因此D正确．

111116．用数学归纳法证明2＋2＋…＋，假设n＝k时，不等式成立之后，2>－23（n＋1）2n＋2证明n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．

11111解析：把n＝k时的不等式中的k换成k＋1，得2＋2＋…＋2＋2>－23（k＋1）（k＋2）21.

k＋3

111111答案：2＋2＋…＋

2＋2>－23（k＋1）（k＋2）2k＋311191111167．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥ABCπABCD2π1111125成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想在n边形A1A2…An中，ABCDE3π类似成立的不等式为________．

11132解析：n＝3时，不等式为＋＋≥，

ABC（3－2）π111142n＝4时，不等式为＋＋＋≥，

ABCD（4－2）π1111152n＝5时，不等式为＋＋＋＋≥，

ABCDE（5－2）π…

111n2猜想＋＋…＋≥.

A1A2An（n－2）π111n2答案：＋＋…＋≥

A1A2An（n－2）π111m8．若不等式＋＋…＋>对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的2n24n＋1n＋2最大值为________．

解析：令f(n)＝111＋＋…＋，

2nn＋1n＋2易知f(n)是单调递增的．

117所以f(n)的最小值为f(2)＝＋＝.

34127m依题意>，

1224所以m<14.

因此取m＝13.

答案：13 9．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a2n－nan＋1.求证：an≥n＋2. 证明：①当n＝1时，a1＝3＝1＋2，即an≥n＋2成立．

②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即ak≥k＋2.

2那么当n＝k＋1时，ak＋1＝ak－kak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1>k＋3＝(k＋1)＋2，也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1>(k＋1)＋2.

由①②可知an≥n＋2对一切n∈N*都成立．

a·2x＋a－210．设a∈R，f(x)＝是定义在R上的奇函数．

2x＋1(1)求a的值；

n(2)如果g(n)＝，试比较f(n)与g(n)的大小(n∈N＋)．

n＋1解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(0)＝0，故a＝1.

2n－12n－2n－1n(2)f(n)－g(n)＝n－＝.

2＋1n＋1（2n＋1）（n＋1）只要比较2n与2n＋1的大小．

当n＝1，2时，2n<2n＋1，f(n)

当n≥3时，2n>2n＋1，f(n)>g(n)．

下面证明，n≥3时，2n>2n＋1，即f(n)>g(n)．

①当n＝3时，23>2×3＋1，显然成立，

②假设n＝k(k≥3，k∈N＋)时，2k>2k＋1，

＋那么n＝k＋1时，2k1＝2×2k>2(2k＋1)．

2(2k＋1)－[2(k＋1)＋1]＝4k＋2－2k－3＝2k－1>0(因为k≥3)，

＋有2k1>2(k＋1)＋1.

所以当n＝1，2时，f(n)

当n≥3且n∈N＋时，f(n)>g(n)．

[B

能力提升] 14a1．已知x∈R＋，不等式x＋≥2，x＋2≥3，…，可推广为x＋n≥n＋1，则a的值为(

) xxxA．2n

－C．22(n1)

解析：选D.由已知中不等式：

1x＋≥2，

x422x＋2＝x＋2≥3，

xx2733x＋3＝x＋3≥4，

xx…，

nnnn归纳可得，不等式左边第一项为x，第二项为n，右边为n＋1，故第n个不等式为x＋nxx≥n＋1，故a＝nn，选D. －2．设a，b均为正实数，n∈N＋，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan1b，则M，N的大小关b系为________(提示：利用贝努利不等式，令x＝)．

a解析：由贝努利不等式(1＋x)n>1＋nx

(x>－1，且x≠0，n>1，n∈N＋)，

b当n>1时，令x＝，

abb1＋>1＋n·，

所以aaa＋bb所以>1＋n·，

aa即(a＋b)n>an＋nan1b.

当n＝1时，M＝N，

故M≥N.

答案：M≥N

－B．n2

D．nn

nn

111＋，yn＝1＋3．设xn＝nn证明：先证xn

因为n≥1，所以n＋1≥2.

nn＋1，n＝1，2，…，求证xn1－，

2＝1－（n＋1）n＋11＋1n＋1n＋11>1－，

n＋1n＋11>1－n＋1

nn－nnn＋111＋＝n＋1＝n＝n.

故xn

再证yn＋1

1由贝努利不等式得1＋（n＋1）2－1n＋11>1＋>1＋，

2（n＋1）－1n＋1n＋1

（n＋1）即n（n＋2）n＋1nn＋12n＋11>1＋，

n＋11>1＋，

n＋1n＋1n＋1n＋2n＋1n＋2即n＋1n＋2n＋1<n，

n＋11＋1n＋1（n＋1）＋111＋<n.

故yn＋1

(1)证明：an∈[0，1]对任意n∈N＋成立的充分必要条件是c∈[0，1]；

1－(2)设0

因为a2∈[0，1]，所以0≤1－c≤1，

即c∈[0，1]．

充分性：设c∈[0，1]，对n∈N＋用数学归纳法证明an∈[0，1]．

当n＝1时，a1＝0∈[0，1]．

假设ak∈[0，1](k∈N＋，k≥1)，

3则ak＋1＝ca3k＋1－c≤c＋1－c＝1，且ak＋1＝cak＋1－c≥1－c≥0，

故ak＋1∈[0，1]．

由数学归纳法，知an∈[0，1]对所有的n∈N＋成立．

综上，可得an∈[0，1]对任意n∈N＋成立的充分必要条件是c∈[0，1]．

1(2)设0

3当n≥2时，因为an＝ca3n－1＋1－c，

2所以1－an＝c(1－a3n－1)＝c(1－an－1)(1＋an－1＋an－1)．

1因为0

3所以1＋an－1＋a2n－1≤3，且1－an－1≥0.

所以1－an≤3c(1－an－1)．

－－所以1－an≤3c(1－an－1)≤(3c)2(1－an－2)≤…≤(3c)n1(1－a1)＝(3c)n1.

－所以an≥1－(3c)n1(n∈N＋)．