二 一般形式的柯西不等式优秀教案说课稿

二

一般形式的柯西不等式

教学目标：

1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法

教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。

教学过程：

一、复习引入：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则

(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中等号当且仅当adbc时成立。

定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则||||||，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：

(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2 二、讲授新课：

类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3)2当且仅当

α ，

β

共线时，即

β0

，或存在一个实数k，使得aikbi(i1,2,3)时，等号成立.这就是三维形式的柯西不等式. 对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？

定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n为大于1的自然数，ai,bi（i1，2，…，n）为任意实数，则：(a12a22即

222222an2)(b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn)

aii1n2bi(aibi)2，其中等号当且仅当2i1i1nnbb1b2n时成立（当ai0a1a2an

时，约定bi0，i1，2，…，n）。

证明：构造二次函数：f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2

即构造了一个二次函数：f(x)(ai2)x22(aibi)xbi2

i1i1i1nnn由于对任意实数x，f(x)0恒成立，则其0，

即：4(aibi)4(ai)(bi2)0，

22i1i1nnnni1即：(aibi)2(ai2)(bi2)，

i1i1i1nn等号当且仅当a1xb1a2xb2anxbn0，

即等号当且仅当b1b2bn时成立（当ai0时，约定bi0，i1，2，…，n）。

a1a2an如果ai（1in）全为0，结论显然成立。

1．三维形式的柯西不等式

222222设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a1＋a22＋a3)(b1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)，当且仅当bi＝0(i＝1，2，3)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3)时，等号成立．

2．一般形式的柯西不等式

设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，

222222则(a1＋a22＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二维形式的柯西不等式是一般形式的柯西不等式的特殊情况．(

) (2)三维形式的柯西不等式可以由空间向量的几何意义推导出来．(

) (3)柯西不等式中的字母a，b，c，…具有轮换对称性，按照一定顺序轮换，式子不变．(

) (4)在应用柯西不等式时，不需要验证等号成立的条件．(

) 答案：(1)√

(2)√

(3)√

(4)×

2．已知x，y，z＞0，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是(

) A．1

1C．

2答案：B 3．设a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值是(

) A．1

B．3 C．3

D．9 答案：B 4．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．

1B．

3D．3

解析：由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12，当a＝2b＝3c＝2时，等号成立，所以a2＋4b2＋9c2的最小值为12.

答案：12

利用柯西不等式证明不等式[学生用书P44] a2b2c2

(1)设a，b，c为正数，求证＋＋≥a＋b＋c. bca(2)设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn为正实数，求证：

（a1＋a2＋…＋an）a2a2a212n＋＋…＋≥. b1b2bnb1＋b2＋…＋bnabc【证明】

(1)b＋c＋a(a＋b＋c)

a2b2c2＝＋＋[(b)2＋(c)2＋(a)2]

bca2abc·b＋·c＋·a＝(a＋b＋c)2，

≥cab2222abc＋＋(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2.

即bca因为a，b，c∈R＋，所以a＋b＋c＞0，

a2b2c2所以＋＋≥a＋b＋c.

bcaa1a2an＋＋…＋(b1＋b2＋…＋bn)

(2)bnb1b22a1a2an·b1＋·b2＋…＋·bn

≥b2bnb1222222＝(a1＋a2＋…＋an)2.

因为b1，b2，…，bn为正实数，

所以b1＋b2＋…＋bn>0.

（a1＋a2＋…＋an）a2a2a212n所以＋＋…＋≥.

b1b2bnb1＋b2＋…＋bna1a2an当且仅当＝＝…＝时，等号成立．

b1b2bn

利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧

(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数．

(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．

(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的．

(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项.

1.已知正数a，b，c，求证：

b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc. a＋b＋c证明：构造两组数ab，bc，ca；ca，ab，bc，

2

则由柯西不等式得

a2b2＋b2c2＋c2a2·c2a2＋a2b2＋b2c2

≥ab·ca＋bc·ab＋ca·bc，

即b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．

b2c2＋c2a2＋a2b2于是≥abc. a＋b＋c2．已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1. 求证：|a＋b＋c|≤3. 证明：由柯西不等式，得

(a＋b＋c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)＝3.

所以－3≤a＋b＋c≤3，

所以|a＋b＋c|≤3.

用三维形式柯西不等式求最值[学生用书P44]

设a，b，c为正数，且a＋2b＋3c＝13，求3a＋2b＋c的最大值．

2221【解】

因为(a＋2b＋3c)（3）＋1＋

312≥a×3＋2b×1＋3c×

3＝(3a＋2b＋c)2，

1133＋1＋＝.

所以(3a＋2b＋c)≤13×3322所以3a＋2b＋c≤当且仅当133，

3a2b3c＝＝时，等号成立．

1133又a＋2b＋3c＝13，

31133所以当a＝9，b＝，c＝时，(3a＋2b＋c)max＝. 233

利用柯西不等式求最值的方法技巧

利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数的最值问题，其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式的结构特征且出现常数结果，同时要注意等号成立的条件．

设2x＋3y＋5z＝29，求函数μ＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6的最大值．

解：根据柯西不等式，有

(2x＋1·1＋3y＋4·1＋5z＋6·1)2

≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]·(1＋1＋1)

＝3×(2x＋3y＋5z＋11)

＝3×40

＝120.

故2x＋1＋3y＋4＋5z＋6≤230，

当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，

372822即x＝，y＝，z＝时等号成立．

6915此时μmax＝230.

1．对柯西不等式一般形式的说明

一般形式的柯西不等式是二维形式

、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．

2．一般形式柯西不等式成立的条件

由柯西不等式的证明过程可知Δ＝0⇔f(x)min＝0⇔a1x－b1＝a2x－b2＝…＝anx－bn＝a1a2an0⇔b1＝b2＝…＝bn＝0，或＝＝…＝. b1b2bn高考链接：

2013年全国卷2（23）设均为正数，且，证明：

（1）；

（2）

2019年全国卷3（23）．设（1）求，且的最小值；

.

（2）若

成立，证明：或.