学习总结报告含PPT的教学设计及点评

选修4—5《不等式选讲》学习总结报告--知识拓展

借助几何画板探究含两个绝对值函数的最值问题

一、教学目标

1、知识与技能：通过本节课的探究学习，掌握f(x)|xa||kxb|(k0且k1)型和f(x)|xa||kxb|(k0且k1)型函数的图像及特征，能够快速准确的求出函数的最值。

2、过程与方法：通过《几何画板》的动态演示和探究、分析问题，最终培养学生的观察能力和探究学习的能力，并能掌握数形结合思想和分类讨论思想。

3、情感态度价值观：通过一系列有趣的动态演示，激发学生的学习兴趣，引导学生逐渐学会探究学习的能力。

二、教学重点

借助几何画板动态演示掌握f(x)|xa||kxb|(k0且k1)型和f(x)|xa||kxb|(k0且k1)型函数的图像及特征。

三、教学难点

利用数形结合思想解决含有两个绝对值函数的最值问题。

四、教学方法

利用《几何画板》借助多媒体演示，学生总结规律，得出一般结论。

五、教学过程

Ⅰ、引入课题

上节课我们系统的总结学习了不等式知识及其蕴含的数学思想方法和数学背景文化。下面同学们思考这个问题：

思考题1：（2014年重庆高考理科16题）

1若不等式|2x1||x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围2是

。

老师：同学们思考这个问题考察了什么?应当如何解决？

1学生：考察了一个恒成立问题，只需a2a2(|2x1||x2|)min即可。

2老师：我们发现这个问题的左边两个绝对值中x的系数不相同，我们可以用取绝对值的方法或绝对值三角不等式求出它的最值，但在高考中我们能不能直观、快速、简洁的求出这个式子的最值呢？这节课我们借助几何画板拓展学习含有两个绝对值不等式的最值问题。（板书课题）

1

Ⅱ、拓展学习

1、f(x)|xa||kxb|(k0且k1)型的图像及特征

当k1时就是我们前面学过的f(x)|xa||xb|型（图1），（因图像象公路边水渠的截面图，我们把它形象的定义为上水渠型）它有最小值。

图1

老师：现在我们观察当k变化时，函数图像如何变化，首先我们把k的值从1逐渐减小同学们注意观察图像（图2）的变化(利用几何画板演示)。

图2

0k1

老师：平行与x轴的线段AB怎么变？

学生：与x轴不平行了

老师：两侧的两条射线怎么变？

学生：仍向上倾斜。

老师：有最值吗？

学生：有最小值

。（板书：小）

2

老师：当x为何值时取得最小值？

学生：当xa时取得最小值。

老师：而xa恰好是|xa|（板书：|xa|）对应的零点，并且|xa|中x对应的系数1终大于|kxb|中x对应的系数k（板书：0k1）。

老师：下面我们再把k由1逐渐增大,同学们注意观察图像( 图3 )的变化(利用几何画板演示)。

图3

k1

老师：平行与x轴的线段AB怎么变？

学生：仍然与x轴不平行了。

老师：两侧的两条射线怎么变？

学生：仍然向上倾斜。

老师：有最值吗？

学生：有最小值（板书：小）。

老师：当x为何值时取得最小值？

b学生：当x时取得最小值。

kb老师：而x也恰好是|kxb|（板书：|kxb|）对应的零点，并且x对应的系数

kk始终大于1（板书：k1）。

老师：（由板书引导）同学们思考这两种有什么规律吗？

学生：不论0k1还是k1，f(x)都有最小值，并且在x的系数较大的一个绝对值对应的零点处取得最小值。

结论：在x的系数较大的一个绝对值对应的零点处f(x)取得最小值。（多媒体显示）

老师：下面我们利用所学知识解决思考题1。（学生练习本上完成，展台展示）

分析：本题主要考查了含绝对值不等式的恒成立问题的求解，求出|2x1||x2|的最小值

3

是解答此题的关键，可设f(x)|2x1||x2|，因为|2x1|中x的系数2大于|x2|中x11的系数1，所以f(x)minf()，最后利用最小值大于等于a2a2，即可求出实数a的取22值范围。

解：设f(x)|2x1||x2|

1

原问题可转化为f(x)a2a2对任意实数x恒成立

21

只需f(x)mina2a2即可

215f()

f(x)min2215111

所以

a2a2

a2a0

1a

222221

所以实数a的取值范围是[1,]

2

变式1：（小组讨论，老师提问解决）

函数f(x)|3x1||2xa|有最值吗？若有，是最大值还是最小值？在哪儿取得最值？

老师：有没有最值？

学生：有最大值。

老师：为什么有最大值？

1学生：f(x)(|3x1||2xa|)，而|3x1||2xa|在|3x1|对应的零点x

3212处取得最小值是|a|,所以f(x)maxf()|a|。

333老师：通过做这道题，同学们有什么发现吗？

学生：通过做这道题我们发现，有了前面的结论，我们再不需要讨论参数a的大小，就可以快速解决这种含参函数的最值问题。

老师：通过做这两道题同学们想一想如何求f(x)|xa||kxb|(k0且k1)型函数的最值？

学生：首先找x的系数较大的一个绝对值，然后算出这个绝对值对应零点处的函数值就是f(x)的最小值。

老师：我们可以简单的归纳为先找后算，

找：找什么？找x的系数较大的一个绝对值。（板书：找：系数大）

算：算什么？算出这个绝对值对应零点处的函数值就是f(x)的最小值。（板书：算：算最值）

老师：通过前面的学习，同学们现在会解决那一类问题？

4

学生：可以解决f(x)|xa||kxb|(k0且k1)型函数的最值。

老师：强调k必须要大于0。（目的：引导学生提出k<0）

同学们再有什么问题吗？

学生我们只讨论了k0的情况，k0时怎么解决？

老师：同学们思考一下k0时怎么解决？

学生：首先把x的系数可化为正值，转化为第一种类型的问题解决。

老师：举个例子

。

学生：例如|axb|可化为|axb|。

老师：因此我们做这一类问题时，首先要看x的系数，当x的系数为负时，首先要负化正。（板书：看：负化正）

我们做这一类问题问题的过程可总结为：

1看：负化正。（看x的系数，当x的系数为负时要负化正）

2找：系数大。（找x的系数较大的一个绝对值）

3算：算最值。（算出x的系数较大的这个绝对值对应零点处的函数值就是f(x)的最小值）

老师：同学们再有问题吗？

学生：前面解决的问题中，两个绝对值前面都是正号或都是负号，如果一个绝对值前面是正号，另一个绝对值前面是负号时如何解决？

老师：这就是我们今天要学习的第二种类型的问题：f(x)|xa||kxb|(k0且

k1)型。

2、f(x)|xa||kxb|(k0且k1)型的图像及特征

当k=1时，就是我们前面学过的f(x)|xa||xb|型（图4），（因为他的图像有点象字母Z字，我们把它形象的定义为Z字型）它既有最大值又有最小值，并且分别在|xa|和|xb|对应的零点处取得最值。

老师：现在我们观察当k变化时，函数图像如何变化，首先我们把k的值从1逐渐

5

减小同学们注意观察图像（图5）的变化(利用几何画板演示)。

图5

0k1

老师：线段AB怎么变？

学生：仍是一条线段。

老师：平行于x轴的两条射线怎么变？

学生：分别绕着A、B两个端点向上旋转。

老师：有最值吗？

学生：有最小值

。（板书：小）

老师：当x为何值时取得最小值？

学生：当xa时取得最小值。

老师：而xa恰好是|xa|对应的零点，|xa|前面为+号（板书：+|xa|），并且|xa|中x对应的系数1终大于|kxb|中x对应的系数k（板书：0k1）。

老师：下面我们再把k由1逐渐增大,同学们注意观察图像( 图6)的变化(利用几何画板演示)。

图6

k1

老师：线段AB怎么变？

学生：仍然是一条线段

6

老师：平行于x轴的两条射线怎么变？

学生：分别绕着A、B两个端点向下旋转。

老师：有最值吗？

学生：有最大值。（板书：大）

老师：当x为何值时取得最大值？

b学生：当x时取得最小值。

kb老师：而x也恰好是|kxb|对应的零点，|kxb|前面为-号（板书：-|kxb|），k并且x对应的系数

k始终大于1（板书：k1）。

（让学生自己演示图像的变化，总结规律）

老师：这两种情况有什么规律吗？（多个学生补充完整）

学生：我们发现，当两端的两条射线向下倾斜时，x的系数较大的一个绝对值前面的符号为正号，并且最小值在这个绝对值对应的零点处取得，无最大值。当两端的两条射线向下倾斜时，x的系数较大的一个绝对值前面的符号为负号，并且最大值在这个绝对值对应的零点处取得，无最小值。

结论：当x的系数较大的一个绝对值前面的符号为负（正）时，f(x)在这个绝对值对应的零点处取得最大（小）值，无最小（大）值。

（多媒体展示）

老师：下面我们利用所学知识解决问题。

例题：（让学生分析讲解）

若不等式|m3||x2||4x2|有解，则实数m的取值范围是

。

分析：本题主要考查了含绝对值不等式的存在性问题的求解，求出|x2||4x2|的最大值是解答此题的关键，可设f(x)|x2||4x2|，因为|4x2|中x的系数4大于|x2|中x1的系数1，并且|4x2|前面为-号，所以f(x)maxf()，最后利用最大值大于等于|m3|，2即可求出实数m的取值范围。

解：设f(x)|x1||4x2|

原问题可转化为f(x)|m3|有解

只需f(x)max|m3|即可

11f()

f(x)max2211157

所以

|m3|

m3

m

22222

7

57

所以实数m的取值范围是[,]

22

变式2：（学生练习本上完成，展台展示）

函数f(x)|2x1||x3|的值域是

。

分析：f(x)|2x1||x3|=|2x1||x3|,因为|2x1|中x的系数2大于|x3|1中x的系数1，并且|2x1|前面为+号，所以f(x)minf()，最后借助图像求出值域。

2解：



f(x)|2x1||x3|=|2x1||x3|

15f()



f(x)min225



函数f(x)|2x1||x3|的值域是[,)。

2

变式3：（让学生分析讲解）

若函数f(x)|2xa||x1|的最小值是-3，求实数a的值。

分析：这道题考察了方法的逆用，只需正向解决就行。可先求出f(x)的最小值，借助最小值是-3可建立关于a的式子，然后解出a的值。

解：



f(x)|2xa||x1|

aaf()|1|



f(x)min22



f(x)的最小值是-3，

a



|1|3

化简整理得：a24a320

2

解得

a=8

或a=-4

老师：同学们这节课有什么收获？

学生：利用所学知识，可以快速、简洁的求出含两个绝对值函数的最值，解决含两个绝对值函数的最值问题。

Ⅲ小结：

1、借助几何画板探究了f(x)|xa||kxb|(k0且k1)型函数的图像及特征。

2、利用所学知识解决了含有两个绝对值函数的最值问题以及存在性问题和恒成立问题。

3、在学习的过程中渗透了分类讨论思想、数形结合思想、化归所学及类比思想。

8

Ⅳ板书设计

借助几何画板探究含

两个绝对值函数的最值问题

一、f(x)|xa||kxb|(k0且k1)型

二、f(x)|xa||kxb|(k0且k1)型

看：负化正

找：系数大

算：算最值（正小负大）

白板

f(x)|xa||kxb|

0k1

|xa|

小

k1

|kxb|

小

0k1

|xa|

小

k1

|kxb|

大

9