3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优质课一等奖

3.2.1

复数代数形式的加、减运算及其几何意义

学习目标：1.掌握复数代数形式的加、减运算法则．(重点)2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(易错点) [自

主

预

习·探

新

知] 1．复数加法与减法的运算法则

(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则

①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. (2)对任意z1，z2，z3∈C，有

①z1＋z2＝z2＋z1；

②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

2．复数加减法的几何意义

图3-2-1 →→如图3-2-1所示，设复数z1，z2对应向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2→→为平行四边形，向量OZ与复数z1＋z2对应，向量Z2Z1与复数z1－z2对应．

思考：类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？

[提示]|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．

[基础自测] 1．思考辨析

(1) 复数加法的运算法则类同于实数的加法法则．

(2)复数与复数相加减后结果为复数．

(3) 复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义．

(

) (

) (

)

[答案]

(1)√

(2)√

(3)√

2．已知复数zi＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(

)

【导学号：48662137】

A．8i

C．6＋8i

B．6 D．6－8i B

[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.] 3．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(

) A．－1＋i

C．i

B．1－i D．－i A

[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.] 4．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝(

) A．0

C．6

D

[∵z＋3i－3＝3－3i，

∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.] →→5．已知向量OZ1对应的复数为2－3i，向量OZ2对应的复数为3－4i，则向量Z→1Z2对应的复数为________.

【导学号：48662138】

→→→1－i

[Z1Z2＝OZ－OZ＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.] [合

作

探

究·攻

重

难]

复数加减法的运算

(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________. (2)已知zi＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________. [解析]

(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i. (2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，

B．6i D．6－6i

5x－5y＝5，所以解得x＝1，y＝0，

－3x＋4y＝－3，所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，

所以|z1＋z2|＝2. [答案]

(1)－2－i

(2)2 [规律方法]

复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减

[跟踪训练] 1．计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝________. (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.

【导学号：48662139】

(1)6＋i

(2)－7＋7i (3)－11i

[(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i＝－7＋7i. (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i.]

复数加减运算的几何意义

(1)复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2.则|z1－z2|＝________.

图3-2-2 (2)如图3-2-2所示，平行四边形OABC的顶点O、A、C对应复数分别为0、3＋2i、－2＋4i，试求

→→①AO所表示的复数，BC所表示的复数；

→②对角线CA所表示的复数；

→→③对角线OB所表示的复数及OB的长度．

[解]

(1)由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝2. →→→(2)①AO＝－OA，∴AO所表示的复数为－3－2i. →→→∵BC＝AO，∴BC所表示的复数为－3－2i. →→→②∵CA＝OA－OC. →∴CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. →→→→③对角线OB＝OA＋OC，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, |OB|＝12＋62＝37. [规律方法]

1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧

(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．

(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．

2．常见结论

在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．

[跟踪训练] 2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.

【导学号：48662140】

[解]

设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．

→→→则AD＝OD－OA＝(x，y)－(1,2) ＝(x－1，y－2)．

→→→BC＝OC－OB＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．

→→x－1＝1，x＝2∵AD＝BC，∴，解得，故点D对应的复数为2－i. y－2＝－3y＝－1

复数模的最值问题

[探究问题] 1．满足|z|＝1的所有复数z对应的点组成什么图形？

提示：满足|z|＝1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．

2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点组成什么图形？

提示：∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．

3．复数|z1－z2|的几何意义是什么？

提示：复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．

(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(

) A．1

C．2

1B.2

D.5

(2)若复数z满足|z＋3＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．

(1)A

[(1)设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2, |Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.所以|z＋i＋1|min＝1.] →(2)如图所示，

|OM|＝－32＋－12＝2. 所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.

母题探究：1.若本例题(2)条件改为“设复数z满足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值．

[解]

因为|z－3－4i|＝1，

所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，

由几何性质得|z|的最大值是

32＋42＋1＝6. 2．若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．

[解]

因为|z|＝1且z∈C，作图如图：

所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝22－1.

[规律方法]

|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解. [当

堂

达

标·固

双

基] 1. a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(

)

【导学号：48662141】

A．1＋i

C．3

B．2＋i D．－2－i D

[∵z1＝2＋bi，z2＝a＋i，∴z1＋z2＝2＋bi＋(a＋i)＝0，所以a＝－2，b＝－1，即a＋bi＝－2－i] 2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(

) A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

B

[z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．] 3．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.

5

[|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝32＋42＝5.] 4．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.

－1

[z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，2a－a－2＝0，∴2解得a＝－1.] a＋a－6≠0，

→→5．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是OA与OB，其中O是→→→原点，求向量OA＋OB，BA对应的复数及A，B两点间的距离．

→→→→→[解]

向量OA＋OB对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵BA＝OA－OB，∴向→量BA对应的复数为

(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝－82＋－22＝217.