3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优秀教学设计内容

【课题】数系扩充：复数

【教材】

人教版高中数学修选2—2第102页至105页

【授课教师】

攀枝花市第十二中学校

何艾洋

【教学目标】



知识与技能

（1）理解复数的概念； （2）掌握复数的代数表示；

（3）了解复数的几何意义。



过程与方法

（1）经历由实数系扩充为复数系的过程，理解数系扩充的思想方法；

（2）提高应用类比思想解决问题的能力。



情感态度价值观

（1）体会实际需要与数学内部（数的运算、方程求解）的矛盾在数系扩充中的作用和数系扩充的必要性；

（2）感受人类理性思维的作用以及数学与现实世界的联系。

【教学重点】

1.复数的概念；2. 复数系的扩充过程。

【教学难点】

复数概念的理解。

【关键】运用类比方法。

【学情分析】

1.高二学生已经从自然数集学习到了实数集，但是缺乏从整体上重新审视数系发展的过程，不知道数系是如何扩充的。

2.中学生对整个数系的学习过程，基本上与数学历史上数系的发展脉络相吻合，在学习过程中不可避免地会产生“负数平方根”的困惑，难以理解复数的本质，往往容易引起心理的疑惑和不安。

【教学方法】

讲授、启发。

【教学手段】计算机、PPT。

【教学过程设计】

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一、

教学流程设计

数学创造、

形成概念

设计意图：通过理性“自由创造”复数，揭示数系扩充的思想方法。

探求新知

设计意图：还原数系扩充的历史发展过程，同时强调了引入复数的必要性。为数系的进一步扩充，即复数的引入提供借鉴，揭示类比学习的思想。

创设情景、

引入新课

设计意图：根据著名心理学家桑代克的试误学习理论中的“准备律”，运用此情境，结合历史教学，能够让学生在动机上做好准备，对所学内容产生兴趣，使学生在学习前处于对知识的“饥饿状态”，产生一个心理“缺口”，从而激发学生产生弥合心理缺口的学习动力。

剖析概念

设计意图：进一步揭示复数的本质——几何意义，说明了复数存在于现实中，揭示了数学与现实世界的联系。

复数应用

设计意图：指出复数可以应用于实践领域，再次强化了复数引入和学习的必要性。

课后探究

二、教学过程设计

小结升华

设计意图：

1.意在概括归纳复数的知识内容，以理性和理想相结合的思维看复数；

2.揭示复数学习过程中所蕴含的类比思想和数学自由创造思想，同时增强学习的自信心。

设计意图：意在强化知识能力的迁移，培养学生的数学探究能力和数学创新意识。

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教学

环节

学生

活动

（一）

历史重现：《重要的艺术》

教师

与学，

学生

生一

动手

起动

操作，

操作，

思考

并提

出疑

问

提问、引导：这个看起来像数而不是我们之前教 学 内 容

所认识的数的形式，我们该怎么处理呢？是尝教师

活动

设 计 意 图

通过动手操作及提出疑问的情境创设，引发学生学习的兴趣，激发学生的求知欲，顺利引入新课。

一、

创

设

情

景

，

引

入

新

课

试去挖掘它背后更深的内涵还是将其撇在一边，埋葬在历史的尘埃中呢？

12世纪：印度 婆什迦罗

“一个正数的平方根是两重的，一个正数和一

个负数，负数没有平方根，因为负数不是平方

数。”

1545年：意大利 卡丹

教师

(二) 历史回顾

讲故

事，

根的解时，但他表示这样的表达式是“虚构的”、将学

生带

“想象的”。

入历

18世纪：

瑞士 欧拉

史中

在一个一元三次方程的研究中，给出负数平方“一切形如2的数学式，都是不可能有的，都是想象的数”

，“它们既不是‘什么都不是’，也不比‘什么都不是’多些什么，更不比‘什么都不是’少什么。

历史到了这里，数学家们依然束手无策！

学生

听故

事，

思考

通过历史的讲述，使学生身临其境，进一步“扩张”学生学习的心理缺口。

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（一）解构背景，寻找本源

教师

层层

引导

，并

提出

问题

提问：显然这个东西已经超出了实数的范围，面对这样的结果，我们应该怎么去解决？

引导：其实我们是有经验的，我们在历史上、在过去的学习上曾遇到相似的情况，或许通过回顾、类比过去，我们能够得到启发，找到解 二、

决问题的思想或方法。

探

求

（二）解构数系，寻找突破

新

知

学生

在教

师引

导下

思考

追根溯源，引导学生找寻产生负数平方根的本源，避免重走“探求负数平方根是什么数”的历史弯路，同时强调了引入复数的必要性。

教师

引导

学生

回顾

数系

的扩

充过

程

学生

回答，

思考

还原数系扩充的历史发展过程，为数系的进一步扩充，即复数的引入提供借鉴，揭示类比学习的思想。

引导：引入新元素，数集不断扩大，方程得到求解，受此启发，我们也可以尝试引入新元素。

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（四）扩充数系，形成概念

三、

数

学

创

造

，

形

成

概

（历史上，复数一开始也叫做虚数，因为数学念

家们感觉它很“虚幻”，难以认识。）

（五）完成数系扩充 (图片展示)

学生

教师

在教

引导

师的

学生

引导

通过理性进行

下进

“自由创数学 行复

造”复数，的自

数的

揭示揭示数由创 引入，

系扩充的思造，

体会

想方法。

即复

数学

。

数的

创造

引入

的思

想

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（一）

我们刚才的数系扩充过程是一个理性思考

的过程，历史上的数学家也是采用扩充数系的

方法去定义复数。但是这是否仅仅是一种空洞的符号游戏？我们难免会产生这样的疑问：复数是否像实数一样，可以在现实世界中找到她的“影子”呢？

教师

小结

引导

学生

在教

师的

引导

下思

考

寻找复数的几何解释

四、

（二）寻找几何解释

剖

析

概

念

教师

引导

讲授

学生

在教

师引

导下

找到

复数

的几

何解

释

对刚刚学习的内容进行小结升华，揭示数学创造的理性思想，同时提出疑问，促使学生思考，自然进入“寻找复数的几何解释”。

1.复数的引入和认识是一种理性的数学自由创

造的过程！

2.“数学的魅力在于，每个人都可以做数学创

造的主人！”

教师

小结

五、

代数（比如方程）、向量、三角函数、几何、积

复

分等等

数

应

（二）生活或其他科学研究方面：

用

系统分析、信号分析、量子力学、相对论、流

（一）纯数学方面的应用：

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揭开复数的神秘面纱，解决学生对于复数的困惑；同时揭示了复数是存在于现实世界之中，完美表达平面上的点的本质。

强调了数学自由创造的理性价值，

同时增强学生学习数学、做数学主人的自信心。

了解复数应用于实践的价值，再次强化了复数引入和学习的必要性。

学生

听讲

体力学等等

比如，俄国著名航空学家儒可夫斯基利用复数理论，对飞机机翼的形状作深入剖析，最终实现飞机可以在空中“翻跟斗”。

教师

讲授

学生

听讲

六、

小

结

升

华

2.数系的每一次扩充，是基于实际需要和数学

内部的矛盾，是传统思想的一次真正变革;扩充

过程是漫长、曲折的，但是是有规律可循的，教师

1.复数的代数表示和几何意义。

数学的历史为我们开启灵感之窗！（类比思想）

引导

学生

3.复数的引入是“理性”与“理想”的结合。小结，

“理性”

，因为每一步推演都合乎一定的逻辑并升

华，

和实际的需要。

揭示

“理想”

，因为每一步都是人自由创造的结果，知识

的内

每一步推演都极大促动了数学学科自我完善和涵

发展。

数学的魅力在于，每个人都可以做数学创造的主人！

学生

在老

师的

引导

下内

化所

学内

容

以理性和理想相结合的思维看复数；揭示类比思想和数学自由创造思想，同时增强学习的自信心。

在复平面中，点A(abi)、B(cdi)之间

的距离被定义为

AB(ac)2(bd)2，并且对于平面 七、

上的任意一点C，均有性质

课

ACBCAB…………（*）

后

探

我们知道，两点之间的直线距离最短，但究

在现实中，我们往往没有直线路径可走，请重新定义由点A到点Ｂ的距离，并研究在这一新的体系之下上述性质（*）是否还成立。

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意在强化知识能力的迁移，培养学生的数学探究能力和数学创新意识。