1.不等式的基本性质第一课时评课稿

2．基本不等式

对应学生用书P4 1．基本不等式的理解

a＋b重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式≥ab，成立的条件是不同的．前者成立的2条件是

a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，a＋bb≥0仍然能使≥ab成立．

2两个不等式中等号成立的充要条件都是a＝b. 2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式

a＋b2(1)a＋b≥；

222a2＋b2(2)ab≤；

2a＋b2(3)ab≤()；

2a＋b2a2＋b2(4)()≤；

22(5)(a＋b)2≥4ab.

对应学生用书P5

[例1]

已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 111求证：＋＋≥9. abc[思路点拨]

解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明．

[证明]

法一：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，

利用基本不等式证明不等式

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111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴＋＋＝＋＋

abcabcbcacab＝3＋＋＋＋＋＋

aabbccbacacb＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

111即＋＋≥9. abc法二：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，

111111∴＋＋＝(a＋b＋c)(＋＋) abcabcbcacab＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1 aabbccbacacb＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

111∴＋＋≥9. abc

用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．

1．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 证明：因为a，b，c，d都是正数，

ab＋cdac＋bd所以≥ab·cd＞0，≥ac·bd＞0，

22ab＋cdac＋bd所以≥abcd，

4即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 当且仅当ab＝cd，ac＝bd，即a＝d，b＝c时，等号成立．

a2b2c22．已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c. bcaa2b2c2证明：∵a，b，c，，，均大于0，

bcaa2又＋b≥2 ba2·b＝2a，

b第2页

b2＋c≥2 cc2＋a≥2 ab2·c＝2b. cc2·a＝2c. aa2b2c2∴(＋b)＋(＋c)＋(＋a) bca≥2(a＋b＋c)．

a2b2c2即＋＋≥a＋b＋c. bcaa2b2c2当且仅当＝b，＝c，＝a，

bca即a＝b＝c时取等号.

[例2]

(1)求当x>0时，f(x)＝2x的值域；

x＋12利用基本不等式求最值

3(2)设0

219(3)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

xy[思路点拨]

根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值．

[解]

(1)∵x>0，∴f(x)＝2x2＝. 1x＋1x＋x2111∵x＋≥2，∴0<≤. x12x＋x∴0

即f(x)值域为(0,1]．

3(2)∵00. 2∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]

≤22x＋3－2x292＝2. 3当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．

4第3页

9∴y＝4x(3－2x)的最大值为. 219(3)∵x>0，y>0，＋＝1，

xy19y9x＋(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16. ∴x＋y＝xyxyy9x19当且仅当＝，又＋＝1，

xyxy即x＝4，y＝12时，上式取等号．

故当x＝4，y＝12时，

有(x＋y)min＝16.

在应用基本不等式求最值时，

分以下三步进行：

(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；

(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；

(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．

83．已知x＞0，则2x＋的最小值和取得最小值时的x值分别是(

) xA．8,2 C．16,2 8解析：2x＋≥2x答案：A 4．设x，y∈R＋，且满足x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是(

) A．40 C．4 x＋4y解析：∵x，y∈R＋，∴4xy≤. 2x＋4y∴xy≤＝10.∴xy≤100. 4

B．10

D．2

B．8,4

D．16,4 882x·＝8，当且仅当2x＝，即x＝2时，取“＝”号，故选A. xx第4页

∴lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 100＝2. 答案：D 5．(浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(

) 24A.

5C．5 13解析：∵x＋3y＝5xy，∴＋＝5，

yx133x12y∵x>0，y>0，∴(3x＋4y)y＋x＝y＋x＋9＋4≥2 4y)≥25，

∴3x＋4y≥5，当且仅当x＝2y时取等号．

∴3x＋4y的最小值是5. 答案：C

[例3]

某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2014年巴西世界杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2014年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．

(1)将2014年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．

(2)该企业2014年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

[思路点拨]

(1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；

(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．

[解]

(1)由题意可设

k3－x＝，

t＋1将t＝0，x＝1代入，得k＝2. 2∴x＝3－. t＋1利用基本不等式解决实际问题

3x12y·＋13＝25，∴5(3x＋yx28

B．

5

D．6 第5页

当年生产x万件时，

∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，

2∴年生产成本为32x＋3＝323－t＋1＋3. 当销售x万件时，

21年销售收入为150%323－t＋1＋3＋t. 2由题意，生产x万件化妆品正好销完，

由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，

－t2＋98t＋35得年利润y＝(t≥0)．

2t＋1－t2＋98t＋35t＋132

(2)y＝＝50－2＋t＋12t＋1≤50－2 t＋132×＝50－2 16＝42，

2t＋1t＋132当且仅当＝，即t＝7时，等号成立，ymax＝42，

2t＋1∴当促销费定在7万元时，年利润最大．

利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约．

6．一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每x次进货x件)，每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均件货2储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x应是多少？

解：设一年的运费和库存费共y元，

25×10550 000x由题意知：y＝×50＋×20＝＋10x≥2

25×106＝104，

x2x第6页

25×105当且仅当＝10x即x＝500时，ymin＝10 000，

x即每次进货500件时，一年的运费和库存费最省．

7.围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)．

(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

解：(1)如题图所示，设矩形的另一边长为a m. 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360. 360由已知xa＝360，得a＝，

x3602所以y＝225x＋－360(x＞0)．

x(2)∵x>0，

3602∴225x＋≥2225×3602＝10 800. x3602∴y＝225x＋－360≥10 440，

x3602当且仅当225 x＝时，等号成立．

x即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．

对应学生用书P7 1．下列不等式中，正确的个数是(

) a＋b①若a，b∈R，则≥ab

21②若x∈R，则x2＋2＋2≥2 x＋21③若x∈R，则x2＋1＋2≥2 x＋1第7页

④若a，b为正实数，则a＋b≥ab

2

B．1

D．3 11无解，但x2＋2＋2>2成立，x＋2x＋22A．0

C．2 解析：显然①不正确；③正确；对②虽然x2＋2＝故②正确；

④不正确，如a＝1，b＝4. 答案：C 1112．已知a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是(

) 2abA．3 C．5 1解析：∵a＋b＝2×＝1，a>0，b>0，

211∴α＋β＝a＋＋b＋

ab11＝1＋≥1＋＝5，

aba＋b221当且仅当a＝b＝时取“＝”号．

2答案：C a3. “a＝1”是“对任意正数x,2x＋≥1”的(

) xA．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

B．4

D．6 a12a解析：当a＝1时，2x＋＝2x＋≥22(当且仅当x＝时取等号)，所以a＝1⇒2x＋xx2xaa≥1(x＞0)，反过来，对任意正数x，如当a＝2时，2x＋≥1恒成立，所以2x＋≥1⇒/

axx＝1. 答案：A 4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(

) 第8页

A．5千米处

C．3千米处

20解析：由已知：y1＝，

xy2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)．

费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2 200.8x·＝8. x20

x

B．4千米处

D．2千米处

20当且仅当0.8x＝，

x即x＝5时等号成立．

答案：A 5．若x≠0，则f(x)＝2－3x2－12的最大值是________，取得最值时x的值是________．

x24解析：f(x)＝2－3(x2＋2)≤2－3×4＝－10，

x4当且仅当x2＝2即x＝±2时取等号．

x答案：－10

±2 186．当x＞时，函数y＝x＋的最小值为________．

22x－111解析：因为x＞，所以x－＞0，

22184119x－＋所以y＝x＋＝＋≥4＋＝，

12222x－12x－2145当且仅当x－＝，即x＝时，取“＝”．

212x－29答案：

23＋x＋x27．y＝(x>0)的最小值是________．

x＋13＋x＋x23解析：∵x>0，∴y＝＝＋x＋1－1≥23－1. x＋1x＋1当且仅当x＋1＝3时取等号．

答案：23－1 第9页

8．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：

111(1)＋＋≥8；

abab111＋1＋≥9. (2)ab证明：(1)∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，

11111a＋b∴＋＋＝＋＋

abababab11＝2a＋b

＝2a＋ba＋ba＋b

ba＝2a＋b＋4 ≥4 ba1×＋4＝8(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，

ab2111∴＋＋≥8. abab111111＋1＋＝＋＋＋1，

(2)∵ababab111由(1)知＋＋≥8. abab111＋1＋≥9. ∴ab149．设x>0，y>0且x＋y＝4，要使不等式＋≥m恒成立，求实数m

的取值范围．

xy解：由x>0，y>0且x＋y＝4. 得x＋y＝1，

414x＋y14∴＋＝·＋

xy4xyy4x11＋＋＋4

＝xy4y4x15＋＋

＝xy41≥5＋24y4x9·＝. xy4y4x当且仅当＝

时等号成立．

xy第10页

即y＝2x(∵x>0，y>0，∴y＝－2x舍去)．

此时，结合x＋y＝4，

48解得x＝，y＝. 33149∴＋的最小值为. xy49∴m≤. 49－∞，. ∴m的取值范围为410．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．

(1)若设休闲区的长和宽的比析式；

(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计？

20 10解：(1)设休闲区的宽为a米，则其长为ax米，由a2x＝4 000，得a＝. x则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160 20 10＝4 000＋(8x＋20)·＋160 x＝8010(2 x＋(2)S≥8010×25)＋4 160(x>1)．

x552x·＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2 x＝即x＝2.5xxA1B1＝x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解B1C1时取等号，此时a＝40，ax＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．

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