2.2.2 反证法教案和学案内容

3.4反证法

教学目标

1．通过实例，体会反证法的含义．

2．了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题．

重点和难点

本节教学的重点是反证法的含义和步骤．难点是反证法证题中在推理过程中发现矛盾．

教学过程

一、创设情境，导入新课

利用课本中《路旁苦李》这个话题，利用多媒体给出这个故事的动画场景．

（营造开放的讨论场面，引导学生接近并进入反证法的话题）

二、合作交流，探求新知

教师给出问题：如果当时你也在场，你会怎么办？王戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断方法正确吗？

他运用的是什么样的推理方法？

学生活动：小组讨论，要求能自说其圆．

（教师既要赞许类似王戎式的学生的判断方法，但也要肯定选择直接去尝试实验的学生的判断方式，并以此为切入点引入课题）

三、理性概括，纳入系统

结合上面的问题情境，让学生讨论、归纳以下问题：

1．用自已的语言结合“路旁苦李”的故事阐述反证法的概念并分析“母女俩的对话”。

学生活动：讨论后举手回答，其他同学相互补充，教师作适当引导、调整．教师在课件中显示完整的反证法概念，简要板书反证法的概念：从假设所需证的命题的结论不成立出发，结合条件推出与已知条件或正确命题相矛盾的结论，说明假设错误，原命题成立的证明方法叫做反证法．

2.填空：

已知：如右图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，13与11相交于点P. 求证：13与l2相交．

证明：假设，

P l3

l1

l2

即

∥

， 又∵

∥

（已知），

∴

过直线12外一点P有两条直线11,13与直线12平行，

这与“

”相矛盾，

∴ 假设不成立，即求证的命题成立，

∴ 13与12相交．

教师简单引导学生小结：证明两线相交的又一判定方法．

3．根据上述填空，讨论得出反证法的一般步骤：

（学生活动：讨论后举手回答，其他同学相互补充，教师一边引导一边板书反证法的一般证明步骤．）

①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论。

四、学以致用，体验成功

1．由学生独立完成：

例1、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. （教师引导学生把两个填空题与反证法的证明步骤再对照一遍，以加深印象．）

2．小组合作学习：求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

（1）你首选的是哪一种证明方法？

（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？

（3）能不用反证法证明吗？你准备怎样证明？

要求按问题解决的四个步骤进行：理解题意（画出图形，写出已知求证）；制订计划（选择证明方法，找出证明思路）；执行计划（写出证明过程）；回顾（比较两种证明方法的特点）．

（教师：①例后引导学生比较体会反证法的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路．②本题的结是判定两直线平行的又一判定定理．）

五、实践应用，知识迁移

1．学生独立完成三个填空题

由学生推荐两组学生实物投影（或上台板演：同伴一起上台，一

人主笔，一人检查核对）解答过程，然后学生点评．点评内容包括：先是解答的同伴组自己阐述证明的设想或书写时的感想，再由他组同学进行证明思路的繁简性比较、证明过程的书写规范性补充．教师给予恰当的肯定与鼓励．

22．例2：

求证： 是无理数。教师引导学生分析本题并板书证明过程，再用课件展示证明过程。

3．小练习

六、总结回顾，反思内化

学生小结：通过这节课的学习，学到了哪些知识，技巧或数学思想方法？

(1)我学到了……（由学生自己从知识、方法、技巧、体会等角度去自我小结评价）

例如，我学到了什么是反证法；反证法的证明步骤；当正面证明一个命题比较繁杂或困难时，可用反证法证明等．

教师也要特别强调反证法的证明书写步骤与规范格式，并根据学生的表现给予充分的肯定．

七、分层作业，延伸拓展

1．课本67页1、2、3题

2.课外拓展：警察局里有三名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？

教学效果预测

反证法的证明步骤学生应该能掌握得比较好，但假设的书写，对原命题结论的反面作为条件的运用，以及推出的结论与谁相矛盾对中下学生来说具有一定的困难，尽管上课强调书写格式和规范，但作业质量可能不一定会很理想，需要通过一定量作业的训练再纠正才能熟练．