1.3 二项式定理（通用）精品学案

课题：§《二项式定理》教学设计

一、教学内容解析

《二项式定理》是人教A版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识．

二．教学目标设置

新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．

23n（ab),(ab).....(ab)新课标要求：用计数原理分析的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标：

1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题．

2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力．

3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美．结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感．

三、学情分析

１．有利因素

授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力．学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，n（ab)对本节展开式中各项系数的研究会有很大帮助．

２．不利因素

本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度．在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程．

四、教法策略分析

遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”，

并利用多媒体辅助教学．

本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程．

五、教学过程 （一）创设情境

引入课题

1.知识回顾：（1）分类加法计数原理：N=m+n

（2）分类乘法计数原理:N=m*n （3）排列公式，组合数公式

（4）在初中学习过多项式乘法，展开以下各式：(ab)2

(ab)3? (ab)4?

4(ab)?的展开相对前面较为复杂，我们能不能找到展开他们简洁的方师：法？这就需要我们研究他们的规律？找到（ab)n

的规律，对于这个问题早在1664年就有人研究过，他是谁呢? 显示牛顿的图片。

师：这是谁？同学们认识吗？

师：没错，他就是牛顿。牛顿被誉为人类历史上最伟大的科学家之一。他不仅是一位物理学家、天文学家，他还是一位伟大的数学家。他数学生涯中的第一个重大成果就是我们今天研究的课题--二项式定理。(板书---二项式定理) 师：今天，就让我们沿着大数学家牛顿的足迹，重温他探究、发现二项式定理的过程。牛顿究竟是如何发现二项式定理的呢？

n(ab)(板书：=) 【设计意图】学生的学习遵循“历史发生原理”，把二项式定理发现的历史融入新课导入，既能引起学生的兴趣，符合新课程理念，还能提升课堂品味．创设有效的数学情景能激发学生的学习兴趣，为学生提供良好的学习环境．

（二）体验感知

探究归纳 1、确定研究方向。

师：接下来我们来研究这个问题，应该从哪里入手呢？生：…

师：你的想法很好，请坐下。

师：这位同学提出：从上面的特殊情形入手，研究、发现它们的规律后，再推广

到这种一般情况。“从特殊到一般”是研究问题的常用方法。他的提议挺不错！

23(ab)(ab)2、引导学生观察、的展开式，发现规律。

问题:请你观察(ab)的展开式并思考：

①展开式中各种类型的项是如何得到的？

②展开式中各项的系数是如何确定的？

3、引导学生探索(ab)的展开式的项和系数的规律。

问题：①展开式中会有哪几种类型的项？

②展开式中各项的系数是多少？

4(ab)师：你分析得不错，请坐下。其实，根据多项式乘法法则，展开式的每一42项都是从这四个括号中各任取一个字母相乘得到的。他分析的结论是有五种不同43aaa类型的项，第一类：四个括号都取相乘得到；第二类:得到b是；…

师：他说的很好。再请一位同学说明第②点。

3师：请你以第二项为例，具体分析ab有哪几种情形可以得到？它的系数4又是如何确定的？

生：... 师：你回答得很好，请坐下。

3师：这位同学分析，ab是这四个括号中一个括号取b，另三个括号取a相乘得到的，共有四种取法，所以系数为4。

师：我们一起来看一看这四种具体的情形：

第一种情况：b取自于第一个括号。第二种…

33aba师：由于这四种情况，相乘后都是，属于同类项，将这四个同类项合并后，b的系数的确应该是4。他分析得很到位。

师：能不能用前面所学过的知识，说明这个系数4是怎么得来的呢？

师：这位同学， 生：… 3师：只要从四个口号中取1个b，3个a相乘都可以得到ab，师：不妨先取b，从这四个口号中取1个b，有几种取法？

生：…

师：从剩下3个括号中取3个a有几种取法？用组合数表示？ 师：不错！请坐下。

师：他用两个计数原理和组合的知识很好地解释了这个问题。

师：这位同学…，你能分析其它几项的系数吗？

师：分析的很好，请坐下。

师：综合两位同学的成果，我们轻松地得到了展开式各项的系数。

师：作一点说明：由于b选定后，a的取法也随之确定，因此这里的C3、C2…，都可以省略。

4(ab)师：我们可以将的展开式写成.....，

32师：这种形式的展开式，结果与前面的展开式相等吗？

师：刚才，同学们运用计数原理，分析了项的类型和项的系数，发现某些规律，4(ab)并直接写出了的展开式，有没有像刚才那样一项一项地乘开？看来，这是一个重大发现！这实际上是多项式乘法的一种推广。

0442222313444CCaCCabCCabCb(ab)4442414（板书： 板书：展开式）

4、类比猜想，对二项式定理形成初步认识。

师：下面，按照这种规律，

3(ab)问题：你能将的展开式直接写成类似的形式吗？

2(ab)师：结果正确吗？和(ab)呢？单击

5、归纳猜想，进一步认识二项式定理。

师：这个规律，对于这四种情况都成立。请大家猜想(ab)= n(ab)问题：你能猜想的展开式吗？

n师：你很了不起！牛顿当年的结论跟你的一摸一样！请坐下。

师：咱们班的学生都很聪明啊，只要肯努力，说不定，将来你们中间会出一个牛顿一样的人物！这里的nN。

6、引导学生发现一般项。（暂不称通项）

kn-kkCn若学生的回答中含有ab项，则，

提问：展开式中的哪一项具有一般性？

否则提问：展开式中的每一项a、b的指数各不相同，你能用一个式子表示它们吗？

师：我们通常在展开式中写出这一项。

师：它是第几项？ 生：第k+1项；

师：其中k可以取那些值？ 生：k=0, 1, …, n; 7、证明二项式定理。

师：猜想的结论不一定正确，因此必须经过证明。怎样证明这个结论呢？

师：其实，只要说清楚两点即可。①展开式中会有哪几种类型的项？②展开式中各项的系数是多少？

n(ab) 先来说明第①是n个(a+b)相乘，由于展开式中每一项都是从这n个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的，因此每一项都是Cnkankbk的形式，由于最少取0个b，最多取n个b，因此，k=0, 1, …, n;这就说清楚了，展开式中会有

哪几种类型的项？

再来解释第②点。因为Cnkankbk是从这n个(a+b)中取k个b, n-k个a相乘得到kkCCnn的,而共有种取法，也就是说,有种情形，相乘后可以得到Cnkankbk，合并同kCn类项后，该项的系数就是，这样就得到了它的展开式。

师：回顾这一证明，它主要运用了计数原理对展开式中会有哪几种类型的项进行了分类讨论，并对系数是多少进行了说明。

师：请同学们打开书本，翻到第30页，课本对该等式也进行了证明，同样运用了计数原理，但思路略有不同，请同学们课后再认真阅读。

8、提出“二项式定理”的概念。

师：经过证明后的这个公式就叫做二项式定理。

n(ab)问题1：观察下列展开式，归纳猜想的展开式有怎样的规律？ 生：n次式展开有n+1项

生：展开式中每一项都是n次式 生：系数对称相等，第一项系数是1，第二项的系数是n 师：我们主要从展开式的哪些方面来发现的这些规律？ 生：项数，项，系数． 【设计意图】由特殊到一般的归纳总结，离不开大量特殊实例的观察．只有将大量具体实例进行整体和局部多方面的分析，才能得到接近一般性规律的结论．也只有对得出各种结论进行整合，才能让学生顺畅的抓住展开过程的两个要点，即项的结构和项的系数，才能让学生有目的的进一步进行探讨和分析．

2．项的结构特点．

问题2：展开式中各项是如何得到的？

（学生叙述展开过程中各项是如何形成的．如果学生的叙述中没有说明从每个因式中取一个字母相乘得到展开式的项，老师提出预备问题：展开式的各项是由同一个因式中的字母相乘得到的吗？）

n(ab)

师：根据多项式乘法法则，的展开式就是从每个因式中任取一项相乘得到展开式的项．

【设计意图】多项式乘法法则是展开式的运算基础，同时也为用组合数表示系数创设情境．而学生对于多项式乘法法则的理论叙述不够顺畅．通过教师强调多项式乘法法则，让学生思维建立旧知识与新知识联系，为下面系数的确定做好铺垫．

3．项的系数特点．

问题3：展开式各项的系数是如何确定的？

师：根据多项式乘法法则，各项的形成过程就是有关计数原理的问题．而各项的系数，就是展开过程中该项出现的个数． 【设计意图】本节课的重点就是利用多项式的乘法法则和计数原理对展开式中各项进行分析．该问题的提出，符合学生的思维发展规律，能准确地检验学生对问题分析能力和解决方法的掌握，突出体现本节课的思维方法．

（三）知识建构

形成定理

n(ab)问题4：请写出的展开式．

——

二项式定理

n(ab)证明：是n个(a+b)相乘，每个(a+b)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是Cnkankbk的形式，对于每一项

Cnankbk，它是由k个Cnankbk选了b，n－k个选了a得到的，它出现的次数相当kk于从n个(a+b)k中取k个b的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，

这就是二项式定理．

二项式定理的公式特征：

①展开式中每一项的次数都是n；

②展开式共n+1项；

③按照字母a降幂排列，次数由n递减到0，字母b升幂排列，次数由0递增到n；④Cnkankbk是展开式的第k+1项；

Cnkankbk叫二项展开式的通项，用Tk+1表示．

⑤各项的系数Cnk叫二项式系数．

【设计意图】先由学生独立完成，然后组织讨论．完成有特殊到一般的归纳过程，训练学生的类比、联想、归纳的探究能力．在讨论过程中要明确每一项的形式及相应的个数．

（四）巩固新知

提升能力

例1：请写出(12x)5的展开式．

例2：求(x1)10的展开式中第6项的二项式系数．

求展开式第6项的系数． 例3：请写出(x)9的展开式中x3的系数． 【设计意图】通过例题让学生熟悉二项展开式及其通项，区分二项式系数和系数，培养学生的运算能力．设计题目考察学生的学习情况,各个题目设计的比较有梯度，逐渐加大难度，符合学生的认知水平．

（五）回顾反思

归纳总结

知识方面：二项式定理，通项，二项式系数；

思想方法：从特殊到一般；观察——归纳——类比——猜想——证明．

【设计意图】小结可以锻炼学生的概括能力、语言表达能力，可以使学生加深对本节课的认识，掌握基本数学思维方法．

（六）课下作业

思维延伸

1x

【设计意图】通过课下作业使学生深入理解知识，培养学生的创新精神、增强主动探究的意识和能力．

六、板书设计

教学设计说明

高中数学的学科价值在于以下三个方面：传递初等数学知识；进行逻辑推理训练；培养学科精神．数学学习的关键在于理解，重视知识的形成过程，而不是死板的公式应用．新课标指出：学生的学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式．因此，课堂教学中应该是“用教材”，而不是“教教材”，教师要敢于放手，营造宽松的教学氛围，关注学生的主体参与、师生互动、生生互动，着重培养学生研究数学的意识和发展数学的能力，提升学生提出问题、研究问题的能力，竭尽全力培养学生探索创新的意识．在这过程中，要努力把表现的机会让给学生，让学生在直接体验中构建自己的知识体系．

本节课堂教学中，遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，分为：创设情境、探究归纳、知识建构、巩固新知、归纳总结五个阶段．努力使学生有足够的思维活动体验，教师根据学生的思维特征和认知规律，在学生数学学习经验的基础上去设置问题．例如本节中，由特殊到一般的数学思维方法，需要对特殊情形进行观察归纳．要想提高归纳的准确性，就需要较多的实例进行观察．特别是“组合知识的运用”，当n较小时，学生意识不到用组合的知识解释项的系数．只有当n较大时，各项系数的确定才能凸显出组合知识的优势．因此，在题目设置时，准2(ab)备了，(a+b)3，(a+b)4三个展开式让学生观察归纳，否则关于“组合知识

的运用”就成了教师的告知．

问题解决是数学教育的核心，课堂教学中，在学生原有认知的基础上，设置“好”的问题串是非常重要的，因为教师对问题设置如何，直接决定了学生的思维方向和思维深度，教学中以问题为主线，由问题驱动，激发学生探究结论的欲望，使学生的思维始终处于“提出问题、解决问题”的状态中．本节课在“多项式乘法法则”“组合知识的运用”两个方面，学生无法自主完成思维方法的提升，教师通过设置恰当的问题引导学生分析思维过程，为学生在理论层面总结提升．在探究的环节，教师的作用是“激活”而不是“告知”，要把隐藏在学生思想深处的思维方法引导出来．

4.教师作为学生数学探究活动的设计者、活动实施的调控者，直接影响和决定了学生的学习热情及课堂效果．本节课中，课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力．学生能学到很多数学经验：在二项展开式探究过程中，运用组合理解算理、利用数列知识理解通项、运用赋值法得到相关结论等，渗透数学学习的策略与方法，在组织学生数学探究中，积极动手、动脑，实现思维建构、不断积累数学经验，从而形成自主探究的学习习惯，达到理想的教育教学效果．