1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教学设计第二课时

高二数学◆选修1-2◆教学案

编写人：顾武祖

审核人：赵智

总第

课时

§1.1回归分析的基本思想及其初步应用

第1课时

【教学目标】 知识与技能：掌握线性回归模型的数学表达式，理解随机误差项产生的原因和回归方程的预报结果；认识随机误差； 过程与方法：会使用函数计算器求回归方程；能正确理解回归方程的预报结果；

情感态度与价值观：通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神. 【教学重难点】

重点：随机误差ｅ的认识

难点：随机误差的来源和对预报变量的影响. 【教学方法】启发式教学

【教学过程】

一、复习引入

1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？

2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据作散点图求回归直线方程利用方程进行预报. 二、新知探究

探究

从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：

编

号

身高/cm

1 165

2 165 57

3 157 50

4 170 54

5 175 64

6 165 61

7 155 43

8 170 59 体重/kg 48 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重. （分析思路教师演示学生整理）

706050体重/kg

150155160165身高/cm170175180403020100

归纳总结：第一步：作散点图；第二步：求回归方程；

第三步：代值计算. ②

问题

身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？

答：不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右. 1

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③

解释线性回归模型与一次函数的不同

事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次函数ybxa来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型ybxae，其中残差变量e中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 新知：(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．若两个变量之间具有线性相关关系，则称相应的回归分析为线性回归n分析．

(xix)(yiy)^^^ˆi1bn（2）线性回归方程为y＝bx＋a

，且

(xix)2(x,y)称为样本点的中心.回归直线一定过样本点的中心．

i1ˆxˆyb（3）样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，a所以不能用一次函数y＝bx＋a来描述它们之间的关系，而是用线性回归模型y＝bx＋a＋e来表示，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．

三、例题讲解

例

某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：

x y (1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；

(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．

解

(1)如图：

(2)xiyi6283105126158

i14^^^6

2

8

3

10

5

12 6 x＝6＋8＋10＋122＋3＋5＋6＝9，y＝＝4，

44

b＝^i1^4xi26282102122344

^158－4×9×414＝20＝0.7，

344－4×92^a＝y－bx＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y＝0.7x－2.3. (3)由(2)中线性回归方程可知，当x＝9时，y＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学2

^

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的判断力约为4. 四、课堂小结

1.求线性回归方程的一般步骤；

①列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系．

②计算：x,y； ③代入公式求出y＝bx＋a中参数b，a的值．

④写出线性回归方程并对实际问题作出估计．

2.需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．

五、当堂检测

1.假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计数据：

x y （1）求线性回归方程；

（2）求使用年限为10年时，该设备的维修费用为多少？

2.某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：

^^^^^^^2

2.2

3

3.8

4

5.5

5

6.5

6 7.0 由此资料可知y对x呈线性相关关系．

x y ^16

50

^17

34

18

41

19 31 由上表可得线性回归方程y＝bx＋a中的b＝－4，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为( B ) A．51个 B．50个 C．49个 D．48个

六、作业布置

课本8页练习第1，2题. 七、板书设计

§1.1回归分析的基本思想及其初步应用（1）

线性回归分析 例题讲解 练习

随机误差、解释变量、预报变量 例

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