1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征优秀教学设计范文

1.1.2

棱柱、棱锥和棱台的结构特征

学习目标：1.了解多面体的定义及其分类．(重点)

2.理解棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征．(重点)

3.在棱柱、棱锥、棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系．(难点) [自

主

预

习·探

新

知]

1．多面体

(1)定义

由若干个平面多边形所围成的几何体叫做多面体．

(2)相关概念

图1-1-18 (3)凸多面体

把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．

思考：1.长方体、正方体是多面体吗？

[提示]

是．长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义．

2．最简单的多面体由几个面所围成？

[提示]

四个．

2．棱柱的结构特征

名称

结构特征

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围棱柱

成的多面体叫做棱柱．

用表示底面各顶点的字母表图形及表示法

分类

依据底面多边形的边数．

例如：

棱柱中，两个互相平行的面叫做棱示棱柱，如上、下底面三棱柱(底面柱的底面，简称底；其余各面叫做分别是四边形是三角形)，

棱柱的侧面；相邻的侧面的公共边A′B′C′D′、四边四棱柱(底面1

叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公形ABCD的四棱柱，共顶点叫做棱柱的顶点

可记为棱柱ABCD-A′B′C′D′

3.棱锥的结构特征

名称

结构特征

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥

棱锥的底面或底；有公共顶点

的各个三角形面叫做棱锥的侧用顶点和底面各顶点的面；各侧面的公共顶点叫做棱字母表示，如上图中棱锥的顶点；相邻侧面的公共边锥可表示为棱锥叫做棱锥的侧棱

S-ABCD

4.棱台的结构特征

名称

结构特征

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间棱台

棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.

的部分叫做棱台．原用上下底面的顶点表示棱边形A′B′C′D′、四边形ABCD的四棱台，可记为棱台ABCD-A′B′C′D′

[基础自测]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 图形及表示法

图形及表示法

是四边形)…

分类

依据底面多边形的边数．

例如：三棱锥(底面是三角形)，四棱锥(底面是四边形)…

分类

按照棱台底面多边形的边数分类．例如：三棱台(由三棱台(由四棱锥截得)…

台．如：上、下底面分别是四锥截得)，四棱(1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥．(

) (2)棱台的侧棱长都相等．(

) (3)棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形．(

) 2

(4)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．(

) [答案]

(1)√

(2)×

(3)×

(4)×

2．如图1-1-19，观察下列多面体，有什么共同特点？

图1-1-19 [解]

(1)有两个面相互平行；(2)其余各面都是平行四边形；(3)每相邻两个四边形的公共边都相互平行．

3．棱锥的侧面和底面可以都是(

) 【导学号：90662012】

A．三角形

C．五边形

B．四边形

D．六边形

[合

作

探

究·攻

重

难]

棱柱、棱锥、棱台的概念

下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________．

(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；

(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；

(3)棱锥的侧面只能是三角形；

(4)棱台的各侧棱延长后必交于一点；

(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．

[解析]

(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；

(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；

(4)正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；

(5)错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥．

A

[棱锥的侧面都是三角形，所以底面和侧面相同只能是三角形．] 3

[答案]

(2)(3)(4) [规律方法]

判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等．

[跟踪训练]

1．下列关于棱柱的说法正确的个数是(

) ①四棱柱是平行六面体；

②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；

③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；

④底面是正多边形的棱柱是正棱柱．

A．1

B．2

C．3

D．4 A

[四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确．说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确．] 几种常见四棱柱的关系

下列说法中正确的是(

) 【导学号：90662013】

A．直四棱柱是直平行六面体

B．直平行六面体是长方体

C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体

D．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱

C

[直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错．] [规律方法]

几种常见四棱柱的关系

4

[跟踪训练]

2．一个棱柱是正四棱柱的条件是(

) A．底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱

B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱

C．底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱

D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱

D

[选项A、B中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除选项A、B、C，所以选D.] 对多面体的识别和判断

如图1-1-20长方体ABCD-A1B1C1D1.

图1-1-20 (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分的几何体还是棱柱吗？若是棱柱指出它们的底面与侧棱．

[思路探究]

观察图形→紧扣概念→得出结论→回答问题

[解]

(1)这个长方体是棱柱，是四棱柱，因为它满足棱柱的定义．

(2)截面BCFE右侧部分是三棱柱，它的底面是△BEB1与△CFC1，侧棱是EF，B1C1，BC.截面左侧部分是四棱柱，它的底面是四边形ABEA1与四边形DCFD1，侧棱是AD，BC，EF，A1D1. [规律方法]

正确判断几何体类型的方法

要正确判断几何体的类型，就要熟练掌握各类简单几何体的结构特征．对于有些四棱柱，互相平行的平面不只是两个，所以对于底面来说并不固定．棱柱的概念中两个面互相平行，指的是两个底面互相平行．但由于棱柱的放置方式不同，两个底面的位置就不一样，但无论如何放置，都应该满足棱柱的定义．

5

[跟踪训练]

3．如图1-1-21，下列几何体中，________是棱柱，______是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．

图1-1-21 [解析]

结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．

[答案]

①③④

⑥

⑤

几何体的计算问题

[探究问题]

1．计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？

[提示]

常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形，②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形．

2．其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？

[提示]

是

3．正棱台中的计算呢？

[提示]

根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解．

正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为23，求正三棱锥的高. 【导学号：90662014】

[思路探究]

正三棱锥⇒侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形⇒勾股定理求解．

[解]

作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点．

3在Rt△ADO中，AD＝2，

∠OAD＝30°，

6

32故AO＝＝3. cos∠OAD在Rt△SAO中，SA＝23，AO＝3，

故SO＝SA2－AO2＝3，其高为3. 母题探究：1.将本例中“侧棱长为23”，改为“斜高为23”，则结论如何？

13[解]

在Rt△SDO中，SD＝23，DO＝2AO＝2，故SO＝SD2－DO2＝35＝4. 2．将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？

[解]

如图正四棱锥S-ABCD中，SO为高，连接OC.则△SOC是直角三角形，由32题意BC＝3，则OC＝2，又因为SC＝23，则SO＝SC2－OC2＝1530＝22. 30故其高为2.

[规律方法]

1．正棱锥中的直角三角形的应用

已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高．

912－2＝312－4

图1-1-22 (1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC. (2)斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE. (3)侧棱、高构成直角三角形，如图1-1-22中Rt△POC. 2．正棱台中的直角梯形的应用

已知正棱台如图1-1-23(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高，

7

图1-1-23 (1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1. (2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO. (3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1. [当

堂

达

标·固

双

基]

1．下列几何体中是棱柱的个数有(

)

图1-1-24 A．5个

C．3个

B．4个

D．2个

D

[由棱柱的定义知①③是棱柱，选D.]

2．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是(

) A．棱柱

C．棱台

B．棱锥

D．一定不是棱柱、棱锥

D

[有两个面互相平行，故此多面体一定不是棱锥，其余各面都是梯形，所以也不是棱柱，棱柱的侧面都是平行四边形，选D.]

3．如图1-1-25所示，在棱锥A-BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶AB＝1∶3，已知△BCD的周长是18，则△EFG的周长为________. 【导学号：90662015】

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图1-1-25 [解析]

由已知得EF∥BD，FG∥CD，EG∥BC，

∴△EFG∽△BDC，

△EFG的周长EF∴＝. △BCD的周长BD△EFG的周长1EFAE1又∵BD＝AB＝3，∴＝，

△BCD的周长31∴△EFG的周长＝18×3＝6. [答案]

6 4．一个棱柱至少有__________个面；面数最少的棱柱有________个顶点，有________条棱．

[解析]

面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱．

[答案]

5

6

9 5．如图1-1-26所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，P为棱AA1的中点，Q为BB1上任意一点，求PQ＋PC的最小值．

图1-1-26 [解]

将面BCC1B1展开至如图位置，由图可知．当P，Q，C三点共线时，PQ＋QC最小，此时PQ＋QC＝PC＝AP＋AC＝22217a2＋2a2＝2a. 

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