二 一般形式的柯西不等式优秀公开课教案

一般形式的柯西不等式教案

（两课时）雅礼中学

李强

一。学习目标

1.理解并掌握三维形式的柯西不等式. 2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程. 3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题．

二。【问题导学】

知识点一

三维形式的柯西不等式

思考1

类比平面向量，在空间向量中，如何用|α||β|≥|α·β|，推导三维形式的柯西不等式？

答案

设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，

22222则|α|＝a21＋a2＋a3，|β|＝b1＋b2＋b3. ∵|α||β|≥|α·β|，

22222∴a21＋a2＋a3·b1＋b2＋b3≥|a1b1＋a2b2＋a3b3|，

222222∴(a1＋a22＋a3)(b1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3). 思考2

三维形式的柯西不等式中，等号成立的条件是什么？

答案

当且仅当α，β共线时，即β＝0或存在实数k，使a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3时，等号成立．

梳理

三维形式的柯西不等式

222222设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a1＋a22＋a3)(b1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)，当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时等号成立．

知识点二

一般形式的柯西不等式

(1)一般形式的柯西不等式

22222设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2. (2)柯西不等式等号成立的条件

当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得

ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时等号成立．

三。【题型探究】

类型一

利用柯西不等式证明不等式

命题角度1

三维柯西不等式的应用

例1

设a，b，c为正数，且不全相等．

求证：2229＋＋＞. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c证明

构造两组数a＋b，b＋c，c＋a；

111，，，则由柯西不等式得

a＋bb＋cc＋a111(a＋b＋b＋c＋c＋a)a＋b＋b＋c＋c＋a≥(1＋1＋1)2，①

111即2(a＋b＋c)a＋b＋b＋c＋c＋a≥9，

2229于是＋＋≥. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c由柯西不等式知，

①中有等号成立⇔a＋bb＋cc＋a＝＝⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c. 111a＋bb＋cc＋a因为题设中a，b，c不全相等，故①中等号不成立，

2229于是＋＋＞.

a＋bb＋cc＋aa＋b＋c【反思与感悟】：

有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过：

(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数．

(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．

(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的．

(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项．

abc跟踪训练1

已知a，b，c∈R＋，求证

b＋c＋a·b＋c＋a≥9. abc证明

由柯西不等式知，

左边＝a2＋bc2＋bb＋ab×cb2＋ca2

cc＋bc×aa2

cc2×

a≥b2＋aa×b＝(1＋1＋1)2＝9，

∴原不等式成立．

命题角度2

一般形式的柯西不等式的应用

a2a2a212n例2

设a1，a2，…，an为正整数，求证：＋＋…＋≥a1＋a2＋…＋an.（学生上讲台）

a2a3a1证明

由柯西不等式，得

222a1＋a2＋…＋an(a2＋a3＋…＋a1) a1a2a3≥

a1a2an·a2＋·a3＋…＋·a12

a3a1a2＝(a1＋a2＋…＋an)2，

a2a2a212n故＋＋…＋≥a1＋a2＋…＋an. a2a3a1反思与感悟

一般形式的柯西不等式看着往往感觉比较复杂，这时一定要注意式子的结构特征，一边一定要出现“方、和、积”的形式．

a2a212跟踪训练2

已知a1，a2，…，an∈R＋，且a1＋a2＋…＋an＝1，求证：＋＋…a1＋a2a2＋a3a2a21n－1n＋＋≥. an－1＋anan＋a12a1a2an证明

∵a＋a＋a＋a＋…＋a＋a×2 1223n1a1a2an＝a＋a＋a＋a＋…＋a＋a[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋…＋(an＋a1)] 1223n1222222≥

a21·a1＋a2＋

a1＋a2a2n·an＋a12

an＋a1a22·a2＋a3＋…

a2＋a3

＋

＝(a1＋a2＋…＋an)2＝1，

a2a2a2112n∴＋＋…＋≥. a1＋a2a2＋a3an＋a12类型二

利用柯西不等式求函数的最值

149例3

(1)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1.求＋＋的最小值；

xyz(2)设2x＋3y＋5z＝29.求函数μ＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6的最大值．（学生板书）

解

(1)∵x＋y＋z＝1，

149149＋＋(x＋y＋z) ∴＋＋＝xyzxyz≥123·x＋·y＋·z2

xyz＝(1＋2＋3)2＝36. yz当且仅当x＝＝，

23

111即x＝，y＝，z＝时取等号．

632149∴＋＋的最小值为36. xyz(2)根据柯西不等式，有

(2x＋1·1＋3y＋4·1＋5z＋6·1)2

≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x＋3y＋5z＋11) ＝3×40＝120. 故2x＋1＋3y＋4＋5z＋6≤230，

当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，

372822即x＝，y＝，z＝时等号成立．

6915此时μmax＝230. 【反思与感悟】

利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．

跟踪训练3 已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4. (1)求a＋b＋c的值；

12122(2)求a＋b＋c的最小值．

49解

(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，

当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．

又a＞0，b＞0，

所以|a＋b|＝a＋b，

所以f(x)的最小值为a＋b＋c，

又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4. (2)由(1)知a＋b＋c＝4，

由柯西不等式得

1a2＋1b2＋c2(4＋9＋1)≥a×2＋b×3＋c×12＝(a＋b＋c)2＝16，

429311ab23c1212288182即a＋b＋c≥，当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立，

497231777121228故a＋b＋c的最小值为. 497四。【课题训练】

1．已知：x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝2，则x＋2y＋3z的最大值为(

) A．27 C．4 答案

C 解析

∵(x＋2y＋3z)＝(1·x＋2·y＋3·z)≤[1＋2＋(3)][(x)＋(y)＋(z)] ＝8(x＋y＋z)＝16. 111(当且仅当x＝y＝z＝时取等号) 434∴x＋2y＋3z≤4.

1112．若a，b，c∈R＋，且＋＋＝1，则a＋2b＋3c的最小值为(

) a2b3cA．9 C.3 答案

A B．3 D．6 22222222B．23 D．5 1112解析

由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)·＋＋≥(1＋1＋1)＝9，

a2b3c∴a＋2b＋3c的最小值为9. x2y2z23．已知大于1的正数x，y，z满足x＋y＋z＝33.求证：＋＋x＋2y＋3zy＋2z＋3xz＋2x＋3y≥3. 2证明

由柯西不等式及题意，得

x2y2z2(＋＋) x＋2y＋3zy＋2z＋3xz＋2x＋3y·[(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)] ≥(x＋y＋z)＝27. 又(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y) ＝6(x＋y＋z)＝183，

2x2y2z2273∴＋＋≥＝，

x＋2y＋3zy＋2z＋3xz＋2x＋3y1832当且仅当x＝y＝z＝3时，等号成立．

五。课题归纳总结

2222221．柯西不等式的一般结构为(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，在利用柯西不等

式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件正确解题．

2．要求ax＋by＋z的最大值，利用柯西不等式(ax＋by＋z)2≤(a2＋b2＋12)(x2＋y2＋z2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧．对于许多不等式问题，用柯西不等式来解往往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它．

六。课后反思

1. 学生对柯西不等式的一般结构不熟练，取等条件遗忘；

2.不能准确构造柯西不等式的形式，需要加大练习；

3.不能灵活应用柯西不等式；