一 数学归纳法第二课时教案

《数学归纳法》教学设计

一、教学目标

１、知识与技能

（1）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；

（2）进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想. 2、过程与方法

（1）通过对例题的探究，体会由猜想到证明的数学方法；

（2）努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率. 3、情感态度与价值观

通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学态度和勤于思考、善于观察的学习习惯. 二、教学重点、难点

1.重

点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握. 2.难

点：对数学归纳法原理的理解，如何利用归纳假设证明当nk1时结论正确. 三、教学过程

1.创设问题情景

问题1：共同回顾等差数列an通项公式的推导过程：

a1a1,a2a1d,a3a12d,a4a13d,ana1n1d这是由归纳推理得出的等差数列的通项公式，通项公式是正确的. 问题2：法国数学家费马观察到，

215,22117,221257,22165537这就是著名的费马猜想.半个世纪后，善于计算的欧拉发现，第5个费马数214294967297

6416700417不是质数，从而推翻了费马的猜想.由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠. 第

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2543221都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如21nN2n*的数都是质数.

问题3：多媒体演示多米诺骨牌游戏

探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：

（1）第一块要倒下；

（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下. 当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下. 2.数学归纳法

学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）. （1）n取第一个值n0 (例如n01)时命题成立；（归纳奠基）

*（2）假设nkkN,kn0命题成立，利用它证明nk1时命题也成立.（归纳递推）

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 思考：条件（1），条件（2）分别起什么作用？条件（1），条件（2）为什么缺一不可？

探究：用数学归纳法尝试证明等差数列通项公式. 3.典型例题

n(n1)(2n1)(nN*)

6(11)(21)1等式成立. 证明：（1）当n1时，左边=1，右边=6k(k1)(2k1)2222（2）假设当nk时等式成立，即123k，那么，6k(k1)(2k1)k(k1)(2k1)6(k1)2222222123k(k1)(k1)66例1 证明：123222n2(k1)2k7k626(k1)(k1)12(k1)16

即当nk1时等式也成立. 根据（1）和（2）可知等式对任何nN都成立. 例2 已知数列*111,,,1447710,1,(3n2)(3n1),,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．

11112213314；S2；S3. ；S4144447777101010101313可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n1.于是可以n猜想Sn. 3n1解：S1下面用数学归纳法证明这个猜想. （1）当n1时，左边=S1*1n11，猜想成立．

，右边=43n13114（2）假设nk(kN)时，猜想成立，即

1111447710那么，

1k,

(3k2)(3k1)3k111

(3k2)(3k1)[3(k1)2)][3(k1)1]1111447710k13k24k1(3k1)(k1)

3k1[3(k1)2)][3(k1)1](3k1)(3k4)(3k1)(3k4)第

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k1．

3(k1)1所以，当nk1时，猜想也成立．

*根据（1）和（2），可知猜想对任何nN时都成立．

4.小结

（1）利用数学归纳法可以证明一些关于正整数n的命题；

（2）数学归纳法证明命题的两个步骤；

（3）证明nk1命题成立时，一定要利用归纳假设；

（4）证明nk1命题成立时，要明确证明的目标. 5.作业

三维设计本节习题

四、教学反思

学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．

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