1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球教学目标

双基达标

限时20分钟

1．下列几何体中是台体的是

(

)．

解析

A中的几何体侧棱延长线没有交于一点；B中的几何体没有两个平行的面；很明显C中几何体是棱锥．

答案

D 2．给出下列命题：

①直线绕直线旋转形成柱面；

②曲线平移一定形成曲面；

③直角梯形绕一边旋转形成圆台；

④半圆面绕直径所在直线旋转一周形成球；

其中正确的个数为

A．1

C．3

B．2

D．0 (

)．

解析

①错．当两直线相交时，形不成柱面；

②错．也可能形成平面．

③错．若绕底边旋转，则不能形成圆台；

④对．据球的定义知，正确．

答案

A 3．下列说法中：

①到定点的距离等于定长的点的集合是球面；

②球面上三个不同的点，一定能确定一个圆；

③一个平面与球相交，其截面是一个圆．

其中正确的个数为

A．0

C．2

B．1

D．3 (

)．

解析

①②都对．③中一个平面与球相交，其截面是一个圆面，而不是圆．

答案

C 4．给出下列命题：

①圆柱的母线与它的轴可以不平行；

②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．

其中正确的是________．

解析

由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．

答案

②④

5．用不过球心O的平面截球O，截面是一个球的小圆O1，若球的半径为4 cm，球心O与小圆圆心O1的距离为2 cm，则小圆半径为________cm. 解析

画出轴截面如图所示，

则OA＝R＝4，OO1＝2. ∴小圆半径为O1A＝OA2－OO21＝23. 答案

23 6．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：

(1)圆台的高；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长．

解

(1)圆台的轴截面是等腰梯形

ABCD(如图)．由已知可得上底一半

O1A＝2 cm，下底一半OB＝5 cm. 又因为腰长为12 cm，

所以高为AM＝

＝315(cm)．

(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，

则由△SAO1∽△SBO可得∴l＝20(cm)．

即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 综合提高

限时25分钟

7．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这个截面把圆锥的母线分为两段的比是 A．1∶3

C．1∶9

B．1∶(3－1) D.3∶2 (

)．

l－122l＝5，

122－5－22

解析

由截面与底面面积之比是1∶3，可得截面圆与底面圆半径之比为1∶3，于是小圆锥与大圆锥母线之比为1∶3，所以上下两部分的比为1∶(3－1)．

答案

B 8．已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝

A．4

C．2

B．3

D．5 (

)。

解析

由已知得△AOB为正三角形，其边长为4. 设AB的中点为O1，则|OO1|＝23. 又OM＝ON＝3.O1M＝O1N＝3 ∴MN＝2×答案

B 9．半径为3 cm的球内接正方体的棱长为________cm. 解析

球的直径为正方体的对角线，设棱长为a，

3×3＝3.故选B 23

则3a＝2×3，a＝23. 答案

23 10．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个冰面直径为24 cm，深为8 cm的空穴，则这个球的半径为________．

解析

设球的半径为x. 由题意有：x2＝122＋(x－8)2

∴x＝13 答案

13 11．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．

解

圆台的轴截面如图所示，

由题意设圆台上、下底面半径分别为x cm，

3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S. 在Rt△SOA中，∠ASO＝45°. 则∠SAO＝45°，所以SO＝AO＝3x，同理：SO1＝A1O＝x.所以OO1＝2x.又S轴截面1＝2(6x＋2x)·2x＝392，所以x＝7.所以圆台的高OO1＝14 cm，母线长L＝2OO1＝142 cm，两底面半径分别为7 cm,21 cm. 12．(创新拓展)把半径为2的四个小球垒成两层放在桌上，下层放3个，上层放1个，两两相切，求上层的最高点离桌面的距离．

解

设放下层三个球的球心为O1、O2、O3，上层一个球的球心为O，上层最高点为P(如图)．

过点O作OO′⊥平面O1O2O3于点O′，

且点P在OO′上．

∵OO1＝OO2＝OO3＝O1O2＝O2O3＝O1O3＝2r＝4. 又∵O′为△O1O2O3的外心，

43∴O1O′＝3. 462在Rt△OO1O′中，OO′＝OO1－O′O21＝3，

∴上层的最高点离桌面的距离

4646h＝2＋2＋3＝4＋3.