阅读与思考 海伦和秦九韶教案2

阅读与思考

海伦和秦九韶

品味数学文化——海伦公式与秦九韶公式

一、教学目标

知识与技能

(1)

理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；

(2)

会证明秦九韶公式与海伦公式,并理解海伦公式的本质；

(3)

会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。

过程与方法

(1)

经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；

(2)

提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。

情感态度价值观

(1)

体会到数学的简洁美；

(2)体会数学以不变应万变的魅力。

二、学情分析

在进入本节课的学习之前,需要熟悉前面已学过的余弦定理、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式。

三、教学重点、难点

教学重点

证明秦九韶海伦公式的过程。

教学难点

海伦公式的本质。

四、教学过程

（一）新课引入

提问：如果一个三角形的三边长固定，那么这个三角形就固定了吗？面积呢？

【设计意图：回顾什么条件可以固定一个圆。】

提问：如何计算三角形的面积？

【设计意图：回顾三角形的面积公式。】

提问：余弦定理中得到哪三个推论？

【设计意图：回顾余弦定理，可以从三角形三边计算出三角形三个角的余弦。】

提问：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为田几何？

【设计意图：渗透数学文化，并从《数书九章》中引入“已知三角形三边求三角形面积”的具体问题。】

（二）新知探究

提问：已知三角形ABC三边a15,b14,c13，求三角形的面积SABC。

【设计意图：将具体问题数学化，提出本节课最重要的一个问题：已知三角形三边具体长度如何求三角形面积。教师引导学生思考如何求三角形面积，求面积需要知道哪些条件，这些条件又该如何求解？并在幻灯片上演示推导的全过程，让学生清楚地看到新知识的形成过程。】

提问：已知三角形ABC三边a,b,c，求三角形的面积S【设计意图：将具体数学问题一般化。】

探究：

ABC。

1acsinB①，

ABC2sin2Bcos2B1②，

a2c2b2③

cosB2acS先把③带入②，再把②代入①，得到：

SABCa2c2b21ac1

22ac22SABC122a2c2b2ac42

介绍：这一公式即我国宋代数学家秦九韶在《数书九章》中记述的：已知三角形三边边长，求三角形面积的“三斜求积术”。秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，秦九韶也被国外科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且也确实是所有时代最伟大的数学家之一”。

【设计意图：渗透数学文化，介绍中国数学史。】

提问：这个公式虽然很有价值，但是使用过程中不甚方便，因为公式形式上不够简洁美观。是否有更加简洁的根据三角形三边求三角形面积的公式呢？能否用已经学习过的面积公式推导出海伦公式呢？

【设计意图：引导学生思考对秦九韶公式进行化简。】

探究：

SABC2222122acbac

42SABC1a2c2b2a2c2b2acac

422ABCSS1(ac)2b2(ac)2b2

422ABCSABCacbacbacbacb

2222abc

p(pa)(pb)(pc),p2介绍：古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式，如果一个三角形的三边长分别为a,b,c，记那么三角形的面积为SABCp(pa)(pb)(pc),pabc，这一公式称为海伦公式。

2【设计意图：渗透数学文化，介绍外国数学史。】

小结：通过上述证明向学生们体会海伦公式简洁的魅力，揭示秦九韶公式与海伦公式的本质是一样的。公式具有深刻意义，为三角形的面积计算提供了新的思路，在知道三边长而不知道高的情况下可以更快更简洁地求出面积。

【设计意图：小结公式本质和意义。】

（三）新知应用

例1、已知三角形ABC三边a15,b14,c13，求三角形的面积S解：

ABC。

SABCabc13141521,

22p(pa)(pb)(pc)2167884

p【设计意图：通过简单例题引发同学们的思考,使同学掌握海伦公式的本质,体会公式的字母可变性与结构不变性,并感受到数学以不变应万变的魅力，渗透函数思想。】

例2、如图，已知A,B是线段M,N上的两个点，MN4，MA1，MB1。以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心顺时针旋转点N，使M,N两点重合成一点C，构成ABC。探究：ABC面积的最大值？

解：

设ABx，ACAM1，BCBN3x，pSABCabc2，

2p(pa)(pb)(pc)2(x1)(21)(2x)

312x

2232

1x2，x时，Smax22例3、三边长a,b,c的三角形，满足cab。2abc，且它的周长是12，面积是6，试判断这个三角形的形状。

解：

2abc12,p1(abc)6,22abc,abc12,3a12,a4,Sp(pa)(pb)(pc)62(6b)(6c)6,(6b)(6c)3,bc15,

bc8,cb,b3,c5.ABC为直角三角形。

【设计意图：让学生经历运用海伦公式解决数学问题的过程，培养学生利用海伦公式解决三角形三边与面积之间关系问题的意识。】

（四）课堂小结

小结课堂内容，公式，数学思想方法。

（五）课后思考

提供资料鼓励学有余力的同学继续探究用其他方式证明海伦公式的证明方法。

【设计意图：鼓励学有余力学生探究证明海伦公式的其他方法。】