复习参考题名师教学设计1

利用基本不等式求最值的若干种方法

函数在高中课本中占有重要地位,也是高考必考内容之一,而考察函数,往往与其值域联系紧密。函数值域问题,也可以理解为函数最值问题,题型的千变万化,让很多考生无从下手,鉴于此,本文针对不同类型的目标函数,给出相应的解题技巧。本文从目标函数的特点入手,结合向量、基本不等式、导数等知识,总结出了十五种方法,供读者参考.

1.

构造定积

所谓构造定积,也就是目标函数中,如果能够构造出某两个或两个以上的因式乘积为一定值,则可以考虑用基本不等式加以解决,当然需要注意基本不等式成立等号的条件. 4,x1的最大值. 1x4分析：注意到1x和乘积为一定值,满足基本不等式中一正二定三相等中的第二条,注意观察发1x例1.

求函数yx现不满足第一条正数,因此需要处理一下符号,然后用直接运用基本不等式即可. 解：x4441x1(x11)

1x1xx1x14441)5

2（x1）4,所以(x1x1x1x14取得等号,即x3时函数取得最大值. x1所以函数的最大值为5,当且仅当x1例2.

求函数yx24,x0的最小值. x222分析：考虑到x与,三式子相乘为一定值,且都是正数,故此处考虑三个数的不等式,此处考虑平分xx4是为了保证后期取等能够成立,读者以后遇到类似情况也可考虑均分. x解：x值. 22242222x233x2334,当且仅当x2成立等号,即x32函数取得最小xxxxxxx2.

构造定和

如果目标函数中,某两个或两个以上的因式相加为一定值,则可以考虑用基本不等式加以解决,当然,必要的时候可以适当增加系数以保证能够得到定值。当然需要注意基本不等式成立等号的条件. 例3.

求函数yx(1x), 的最大值. （0x1）分析：从目标函数的特点不难发现,其最大值肯定为正,且x(1x)1为一定值,但是目标函数中只有一个x,故为了凑出定值,此处考虑左右平方再利用基本不等式. 解：yx(1x)x(1x)(1x),左右同乘2在不等式,于是有：

2222222222

2x2(1x2)(1x2)38232y2x(1x)(1x)[],解得：y

32792222当且仅当2x1x1x取得等号,即x222323函数取得最大值. 39很多时候,为了消元或者为了更好的利用及不等式,有的目标函数需要做一些处理,而平方处理是惯用手法,但读者需要注意平方前后的最值符号是否一致.

3.

形如axbycxyd放缩构造不等式

例4.

已知正数a,b,满足abab3,求ab的最小值. 分析：对于此种类型,考虑通过等式建立关于ab的一个不等式,然后求解不等式即可得到ab的取值范围,当然其最值也能得到,而建立不等式,则需要通过基本不等式来建立,也就是把式子中不是关于ab乘积的地方,通过利用基本不等式,变成关于ab的,同时不等式也刚好建立. 2解：由题可得ab3ab2ab,令tab,则有t32t,解得t3或者t1,显然t0,故t1舍去,即t3,所以ab最小值为9,当且仅当ab取得等号,即ab3时,ab有最小值9.

4.

分离常数法

对于有的目标函数是一个分式,且上下都是幂函数的类型,且上下代数式中把某一因式看为整体,其次数刚好相差一次的情况,可以考虑分离常数后,构造定积来处理,如果下面的次数比上面大,则可以考虑把目标函数上下颠倒转换为上面次数大再来处理. x1(x5)(x2)x27x10(x1)25(x1)44(x1)5

解：yx1x1x1x1444,即x1时函数取得最小值9.

(x1)52(x1)59,当且仅当x1x1x1x1

5.

消元重组法

对于有些目标函数,或许直接观察看不出怎么才能够凑出定值,此时则可以考虑消掉一个未知数,化简合并同类型之后再做观察. 例6.

若a,b0,且例5.

设x1,求函数yx5x2的最小值. 111,求ab的最小值. ab分析：此题从目标函数入手,很难构造出定值,定值没法构造出来,则利用不等式就比较麻烦,于是考虑消掉一个未知数后再进行观察,鉴于题中a,b对称,消掉谁也就没什么区别,读者可以从运算量来考虑消掉谁更为合适. bbb2解：由题可得a,于是abb,看到这个目标函数,就想到方法4中的分离常数,从b1b1b1111,以及a,b0,可以得出,b1成立,故结合方法4则可以得出此题最小值为4,当且仅当abab2取得最小值.

6.

“1”变换法

针对题目中已知一个分式的值,求一个单项式或者多项式的值,则可以考虑在目标函数上乘以“1”,化简后观察是否能构造出定值,有时候可能需要连续多次乘以“1”才能达到目的,读者可以自己体会总结.

例7.

已知正数x,y,281,求xy的最小值. xy解：xyxy1xy(28)2y8x,未能构造出定值,考虑再来一次“1”变换,xy284y64x4y64x成立等号,即x4,y16时,(2y8x)1(2y8x)()3264,当且仅当xyxyxy例8.

已知0x1,求函数y函数取得最小值64. 41的最小值. x1x分析：观察题目,发现题干中并没有等是存在,但是注意到其目标函数的分母,还是能发现x1x1,故此处创造一个等式. 41（41x）x（41x）x2)(x1x)59,当且仅当取得等号,即x时x1xx1xx1x3函数取得最小值9.

7.

配因式构造定积或定和

解：y(例9.

若正数ab0,求a216的最小值. b(ab)分析：此题考虑到baba,左右平方则其交叉项和后面一式子相乘则可得到一定值,平方后的两个平方项可以考虑用一次基本不等式放缩为乘积即可. 解：a2(bab)2b2(ab)22b(ab),b2(ab)22b(ab),于是有b2(ab)22b(ab)4b(ab),所以4b(ab)1616,此题中连用了两次基本不等式,故b(ab)当且仅当4b(ab)16. 1622,同时b(ab)时成立等号,即a22,b2时,函数取得最小值b(ab)

8.

对称函数拆项构造法：形如axybyzcxz222拆项构造

dxeyfz10x210y2z2例10.

已知x,y,z都是正实数,求的最小值. xyyzxz分析:从目标函数观察,则可以断定此题应该要用三次基本不等式,如果考虑分子用三次,则x,y用一次可以得到xy的乘积,同理z,y用一次能得到zy的乘积,z,x用能得到xz的乘积,也就是意味着222222x2,y2,z2会分成三组用基本不等式,而分子x,y是对称的,所以其拆分方式应该是一样的,至于都分配多少给z,此处引入一个待定a系数来处理.

解：ax212a1az2xz,ay2z22yz,(10a)x2(10a)y22(10a)xy,为了三式叠加后2222a10a,解出a8,于是三式叠加2能和题目中分母约分,只需要三式叠加后的右边系数相等即可,则1110x210y2z2后有：10x10yz4(xyyzxz),则4,当且仅当8x2z2,8y2z2,22xyyzxz2222y22x2函数取得最小值,即4x4yz函数取得最小值4.

9.

柯西不等式法

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,当且仅当adbc取得等号；

对于题干中,已知等式和目标函数中的因式之间有平方关系的,则可以想到柯西不等式,相差的系数可以通过配凑解决. 例11.

已知xy1,求x4y的最小值. 分析：从题目不难发现,已知条件和目标函数中的因式有平方关系,则考虑用柯西不等式. 解：(x4y)[1()](x12y)1,所以(x4y)22222122122224x,当且仅当2y成立等号,即52x414,y函数有最小值. 555例12.

求函数y31x3x9的最大值. 分析：首先注意到3(1x)(3x9)12为一定值,且目标函数因式和等式中因式有平方关系,则考虑用柯西不等式. 解：[(3(1x))2(3x9)2][(3)212](3(1x)33x91)2,整理有

(33(1x)3x9)248,所以33(1x)3x943,当且仅当3(1x)13x93取得等号,即x2取得最大值43.

10.

权方和不等式法

xmx1x2x3xm(x1x2xm)n1x1x2,当且仅当取得等号；

nnnnna1a2am(a1a2am)a1a2a3am对于权方不等式,需要注意的就是分式上次的次数问题,永远保证上面次数比下面次数高一次. 例13.

若有正数x,y,且xn1n1n1n1y1,求18的最小值. 22xy分析：注意到分母次数为两次,则分子要处理为三次的形式. 1212181323(12)3xy解：2222,当且仅当时成立等号,即,时函数取得最小值27233xyxyxy(xy)27 例14.

若x,y满足411,求xy的最小值. x3x2y

分析：基于方法3的思想,如果能把题干中的等式放缩构造成只关于xy的因式的不等式,解不等式的解集即可求出目标函数的最值,发现题干中分母直接相加即可出现xy的因式,于是考虑利用权方不等式进行放缩,如果直接相加系数不对,也可考虑先调整系数后再用公式. 2141(21)2解：1,整理有xy3,当且仅当成立等号,即x3x2yx3x2yx3x2yx3,y0函数取得最小值3.

11.

判别式方法

此方法的灵感来源于一元二次函数解得问题,如果能把一个最值问题转化为关于某个未知数的一元二次方程,则一般可以考虑用判别式方法求最值,一般来说,求什么就令什么等于t,然后代入消元化简合并整理为一元二次方程即可,有时候需要注意变量的范围. 例15.

若x,y满足x24xy210,求解：令y的最大值. xyt,则ytx带入题干中等式消去y后有：（t21)x24x10,于是有x(4)24(1t2)0,解得3t3,故函数最大值为3. 当然,此题除了用判别式方法还可以利用斜率计算,此处就不做过多分析.

12.

向量法

对于向量法在最值当中的应用已经不是什么新鲜事儿了,其优点在于把求函数最值图像化,如果一个问题能够用图像刻画出来,那么其最值也就容易了,只是在构造相应向量时,需要仔细斟酌如何构造才能使解题更为容易. 例16.

求函数y24x23x的最大值. 2分析：对于上式,构造a(3,

2),b(x,

4x),这样构造的目的在于a为一方向固定,且大小固定,b似然方向不固定,但是大小是固定的向量,并且二者点乘则为目标函数,所以其最值则转化为两个向量的夹角问题. 解：设a(3,

2),b(x,

4x),则yab|a||b|cos,其中为两个向量的夹角,两个向量模固定,分别为13、2,所以当夹角为0度是,其函数值为最大,最大为213.

213.

复杂函数对称法

所谓复杂函数对称法,也就是对于一个目标函数比较复杂,或者说明显感觉此题用基本不等式解决比较吃力,此时可以尝试验证函数是否具有对称性,虽然可能失败,但是也值得一试. 例17.

已知f(x)1x的最大值和最小值分别为m,n,求mn. x221x11x1x111,所以函数f(x)关于2x1x212x1(x)212x12x1解：因为f(x)f(x)点(0, 0.5)对称,于是有mn1.

sinxcosx2x2x例18.

已知f(x)的最大和最小值分别为m,n,求mn. 22xcosx解：同理可以验证f(x)f(x)2,于是mn2.

14.

三角代换法

三角代换,主要是解决目标函数中带有根号的情况,本文总结目标函数中有以下根号的具体代换形式：

（1）含a2x2；令xasint,t[,]

22（2）含a2x2；令xatant,t(,)

222（3）含abxcxd,a,b,c,d0；令x(x2x1)sintx1,t[0,定义域的两个端点,对于上式有2],其中x1,x2为目标函数的dadax,即x1,x2

cbcb通过上面三种三角代换,就能成功把目标函数中的根号去掉,然后再利用本文其他方法基本就能解出. 例19.

求函数yx12x的最大值. 2解：求出目标函数定义域为[1, 2],于是令x(21)sint1,t[0,2],带入目标函数有ysin2t112(sin2t1)sin2tcos2t,因为t[0,],所以sint,cost都为非负数,于2是ysintcost2sin(t),t[0,],利用三角函数图像,则很容易很计算出其最大值为2,当42t3取得,即x.

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